Bất phương trình, Hệ bất phương trình một ẩn Bài tập và Cách giải

Có thể rằng bất phương trình và hệ bất phương trình là dạng toán thông thường làm cho "khó chịu" mang đến tất cả chúng ta bởi vì có nhiều vấn đề thực hiện tớ "bó tay" còn nếu như không nắm rõ lý thuyết và đem kĩ năng giải thuần thục (biến thay đổi và áp dụng linh động những công thức và ấn định lý).

Ở nội dung bài viết này tất cả chúng ta nằm trong ôn lại kiến thức và kỹ năng về bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn, Lúc tiếp tục nắm rõ nội dung lý thuyết tất cả chúng ta tiếp tục giải những bài bác tập dượt áp dụng nhằm rèn kĩ năng giải toán của bạn dạng thân thiện.

Bạn đang xem: Bất phương trình, Hệ bất phương trình một ẩn Bài tập và Cách giải - Toán lớp 10

I. Khái niệm phương trình một ẩn

1. Bất phương trình một ẩn

° Bất phương trình một ẩn là một trong những mệnh đề chứa chấp vươn lên là mang trong mình một trong những dạng: f(x)>g(x), f(x)<g(x), f(x)≥g(x), f(x)≤g(x). Trong đó: f(x), g(x) là những biểu thức và một vươn lên là x.

° Giá trị x₀ thỏa mãn nhu cầu ĐK xác lập thực hiện mang đến f(x₀)<g(x₀) là một trong những mệnh đề chính thì x₀ là một trong những nghiệm của bất phương trình f(x)<g(x)

2. Điều khiếu nại xác lập của bất phương trình

° Điều khiếu nại xác lập của bất phương trình là ĐK vươn lên là số x nhằm những biểu thức f(x), g(x) đem nghĩa.

* Ví dụ: Bất phương trình: $\sqrt{5-x}+\sqrt{x+3}\leq x^2$ có ĐK xác lập là: 5 - x ≥ 0 và x + 3 ≥ 0.

3. Bất phương trình chứa chấp tham lam số

° Trong bất phương trình, ngoài ẩn số còn rất có thể đem thông số được coi như hằng số. Giải biện luận phương trình chứa chấp thông số là xét coi với những độ quý hiếm này của thông số nhằm bất phương trình vô nghiệm hoặc đem nghiệm, mò mẫm những nghiệm cơ.

* Ví dụ: (2m-5)x + 8 > 0; x² -mx + 2m - 1 ≤ 0. là những bất phương trình ẩn x thông số m.

II. Hệ bất phương trình một ẩn

° Việc mò mẫm tụ tập những nghiệm công cộng của một tụ tập những bất phương trình một ẩn, ký hiệu:

$\left\{\begin{matrix} f_1(x)<g_1(x)\\ f_2(x)<g_2(x)\\ ...\\ f_n(x)<g_n(x) \end{matrix}\right.$ là xét một hệ bất phương trình một ẩn.

° Giải hệ bất phương trình bằng phương pháp mò mẫm giao phó những tập dượt hơp nghiệm của bất phương trình của hệ.

III. Bất phương trình tương đương

° Hai bất phương trình f₁(x) < g₁(x) và f₂(x) < g₂(x) được gọi là tương tự, ký hiệu:

f₁(x) < g₁(x) ⇔ f₂(x) < g₂(x) nếu như bọn chúng đem và một tụ tập nghiệm.

° Định lý: Gọi D là ĐK xác lập của bất phương trình f(x) < g(x), h(x) là biể thức xác lập với từng x ∈ D thì:

i) f(x) + h(x) < g(x) + h(x) ⇔ f(x) < g(x).

Hệ quả:

f(x) < g(x) + p(x) ⇔ f(x) - g(x) < p(x)

ii) f(x).h(x) < g(x).h(x) ⇔ f(x) < g(x) nếu như h(x)>0 với từng x ∈ D.

f(x).h(x) < g(x).h(x) ⇔ f(x) > g(x) nếu như h(x)<0 với mọi x ∈ D.

IV. Bài tập dượt về bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn

* Bài 1 trang 87 SGK Đại Số 10: Tìm những độ quý hiếm x thỏa mãn nhu cầu ĐK của từng bất phương trình sau:

$a): frac{1}{x}<1-frac{1}{x+1}$ $b): frac{1}{x^2-4}leq frac{2}{x^2-4x+3}$

$c): 2|x|-1+sqrt[3]{x-1}<frac{2x}{x+1}$ $d): 2sqrt{1-x}>3x+frac{1}{x+4}$

* Lời giải:

$a): frac{1}{x}<1-frac{1}{x+1}$

- BPT xác lập khi: left{egin{matrix} x
eq 0 x+1
eq 0 end{matrix}
ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x
eq 0 x
eq 1 end{matrix}
ight.

→ Vậy tập dượt độ quý hiếm của x thỏa mãn nhu cầu ĐK xác lập là: D = R{0;–1}.

$b): frac{1}{x^2-4}leq frac{2}{x^2-4x+3}$

- BPT xác lập khi: $left{egin{matrix} x^2-4 eq 0 x^2-4x+3 eq 0 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} (x-2)(x+2) eq 0 (x-1)(x-3) eq 0 end{matrix} ight.$

→ Vậy tập dượt độ quý hiếm của x thỏa mãn nhu cầu ĐK xác lập là D = R{–2;1;2;3}

$c): 2|x|-1+sqrt[3]{x-1}<frac{2x}{x+1}$

- BPT xác lập khi: x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ –1.

→ Vậy tập dượt độ quý hiếm của x thỏa mãn nhu cầu ĐK xác lập là D = R{–1}

$d): 2sqrt{1-x}>3x+frac{1}{x+4}$

- BPT xác lập khi: left{egin{matrix} 1-xgeq 0 x+4
eq 0 end{matrix}
ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} xleq 1 x
eq -4 end{matrix}
ight.

→ Vậy tập dượt độ quý hiếm của x thỏa mãn nhu cầu ĐK xác lập là D = (–∞; 1]{–4}.

* Bài 2 trang 88 SGK Đại Số 10: Chứng minh những bất phương trình sau vô nghiệm:

$a): x^2+sqrt{x+8}leq -3$

$b): sqrt{1+2(x-3)^2}+sqrt{5-4x+x^2}<frac{3}{2}$

$c):sqrt{1+x^2}-sqrt{7+x^2}geq 1$

* Lời giải:

$a): x^2+sqrt{x+8}leq -3$

- Điều khiếu nại BPT xác định: x ≥ –8

Ta có: $x^2geq 0;: sqrt{x+8}geq 0$ $Rightarrow x^2+ sqrt{x+8}geq 0,: forall xgeq -8$

- Do cơ BPT $x^2+sqrt{x+8}leq -3$ vô nghiệm.

$b): sqrt{1+2(x-3)^2}+sqrt{5-4x+x^2}<frac{3}{2}$

- Điều khiếu nại xác định: D = R.

- Ta có: 1+2(x-3)^2geq 1+0=1 $Rightarrow sqrt{1+2(x-3)^2}geq sqrt{1}=1$ (*)

- Lại có: 5-4x+x^2=1+(4-4x+x^2) =1+(2-x)^2geq 1+0=1

$Rightarrow sqrt{5-4x+x^2}geq sqrt{1}=1$ (**)

- Từ (*) và (**) có:

Xem thêm: STT gió mùa về, cap thả thính trời lạnh cực ngọt

$sqrt{1+2(x-3)^2}+sqrt{5-4x+x^2}geq 1+1=2>frac{3}{2}$ với từng x ∈ R.

- Do đó: $sqrt{1+2(x-3)^2}+sqrt{5-4x+x^2}<frac{3}{2}$ vô nghiệm.

$c):sqrt{1+x^2}-sqrt{7+x^2}geq 1$

- Điều khiếu nại xác lập (tập xác định): D = R.

- Ta có: $x^2+1<x^2+7Rightarrowsqrt{ x^2+1}<sqrt{x^2+7}$ $Rightarrowsqrt{ x^2+1}-sqrt{x^2+7}<0$ với từng x∈R.

- Do đó: $sqrt{ x^2+1}-sqrt{x^2+7}>1$ vô nghiệm

* Bài 3 trang 88 SGK Đại Số 10: Giải quí vì thế sao những cặp bất phương trình sau tương đương?

a) -4x + 1 > 0 và 4x - 1 < 0

b) 2x² + 5 ≤ 2x - 1 và 2x² - 2x + 6 ≤ 0

c) $x+1>0: vagrave{}: x+1+frac{1}{x^2+1}>frac{1}{x^2+1}$

d) sqrt{x+1}geq x : vagrave{}: (2x+1)sqrt{x+1}geq x(2x+1)

* Lời giải:

a) Nhân nhị vế của BPT: –4x + 1 > 0 với (–1) < 0 tớ được BPT: 4x – 1 < 0 nên nhị BPT cơ tương tự, ghi chép là:

–4x + 1 > 0 ⇔ 4x – 1 < 0.

b) Ta có: 2x² + 5 ≤ 2x – 1

⇔ 2x² + 5 + 1 – 2x ≤ 2x – 1 + 1 – 2x (Cộng cả nhị vế của BPT với cùng một – 2x).

⇔ 2x² – 2x + 6 ≤ 0.

Vậy nhị BPT tiếp tục mang đến tương đương: 2x² + 5 ≤ 2x – 1 ⇔ 2x² – 2x + 6 ≤ 0.

c) Với từng x tớ có: x² ≥ 0 nên x² + 1 > 0 với từng x.

Do cơ, 1/(x²+1) luôn xác lập với từng x.

- Ta có: x + 1 > 0 nên nằm trong 2 vế củ BPT với 1/(x²+1) tớ được:

$x+1>0 Leftrightarrow x+1+frac{1}{x^2+1}>frac{1}{x^2+1}$

d) Điều khiếu nại x ≥ 1, Lúc cơ 2x + 1 > 0.

- Ta có: sqrt{x-1}geq x nên nhân 2 vế BPT với (2x+1)>0 tớ được:

sqrt{x+1}geq xLeftrightarrow (2x+1)sqrt{x+1}geq x(2x+1)

* Bài 4 trang 88 SGK Đại Số 10: Giải những bất phương trình sau:

$a): frac{3x+1}{2}-frac{x-2}{3}<frac{1-2x}{4}$

b): (2x-1)(x+3)-3x+1leq (x-1)(x+3)+x^2-5

* Lời giải:

$a): frac{3x+1}{2}-frac{x-2}{3}<frac{1-2x}{4}$ (1)

- Tập xác định: D=R.

$(1)Leftrightarrow frac{6(3x+1)-4(x-2)}{12}<frac{3(1-2x)}{12}$

⇔ 18x + 6 - 4x + 8 < 3 - 6x

⇔ 20x < -11 ⇔ x < -11/20

Vậy tập dượt nghiệm của phương trình là S = (-∞;-11/20).

b) (2x – 1)(x + 3) – 3x + 1 ≤ (x – 1)(x + 3) + x² – 5

⇔ 2x² + 6x - x – 3 – 3x + 1 ≤ x² + 3x - x – 3 + x² – 5

⇔ 2x² + 2x – 2 ≤ 2x² + 2x – 8

⇔ 6 ≤ 0 (Vô lý).

Vậy BPT vô nghiệm.

* Bài 5 trang 88 SGK Đại Số 10: Giải hệ bất phương trình sau:

$a): left{egin{matrix} 6x+frac{5}{7}<4x+7\ frac{8x+3}{2}<2x+5 end{matrix} ight.$ $b): left{egin{matrix} 15x-2>2x+frac{1}{3}\ 2(x-4)<frac{3x-14}{2} end{matrix} ight.$

* Lời giải:

$a): left{egin{matrix} 6x+frac{5}{7}<4x+7\ frac{8x+3}{2}<2x+5 end{matrix} ight.$

- Tập xác định: D = R. Giải từng bất phương trình tớ có:

$6x+frac{5}{7}<4x+7Leftrightarrow 6x-4x<7-frac{5}{7}$ $Leftrightarrow 2x<frac{44}{7}Leftrightarrow x<frac{22}{7}$

$frac{8x+3}{2}<2x+5Leftrightarrow 8x+3<2(2x+5)$ $Leftrightarrow 8x-4x<10-3Leftrightarrow 4x<7Leftrightarrow x<frac{7}{4}$

Vậy tập dượt nghiệm của hệ bất phương trình là:

$S=left ( -infty ;frac{22}{7} ight )capleft ( -infty ;frac{7}{4} ight )=left ( -infty ;frac{7}{4} ight )$

$b): left{egin{matrix} 15x-2>2x+frac{1}{3}\ 2(x-4)<frac{3x-14}{2} end{matrix} ight.$

- Tập xác lập D = R. Giải từng bất phương trình:

$15x-2>2x+frac{1}{3}Leftrightarrow 13x>frac{7}{3}Leftrightarrow x>frac{7}{39}$

$2(x-4)<frac{3x-14}{2}Leftrightarrow 4x-16<3x-14$ Leftrightarrow 4x-3x<16-14Leftrightarrow x<2

Xem thêm: 89 bó hoa CÚC HỌA MI đẹp tan chảy | Ý NGHĨA hoa cúc họa mi

Vậy tập dượt nghiệm của hệ bất phương trình là:

$S=left ( frac{7}{39};+infty ight )cap left ( -infty ;2 ight )=left ( frac{7}{39};2 ight )$

Tóm lại, với kiến thức và kỹ năng về bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn những em cần thiết thực hiện thiệt nhiều bài bác tập dượt nhằm vừa phải dễ dàng ghi lưu giữ những công thức và rèn kĩ năng giải toán được rất tốt.