Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác | SGK Toán lớp 10

Nhắc lại hệ thức lượng vô tam giác vuông.

Cho tam giác \(ABC\) vuông góc bên trên đỉnh \(A\) (\(\widehat{A} = 90^0\)), tao có:

Bạn đang xem: Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác | SGK Toán lớp 10

1. \({b^2} = ab';{c^2} = a.c'\)

2. Định lý Pitago : \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

3. \(a.h = b.c\)

4. \(h^2= b’.c’\)

5. \(\dfrac{1}{h^{2}}\) = \(\dfrac{1}{b^{2}}\) + \(\dfrac{1}{c^{2}}\)

 

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh vì thế tổng những bình phương của nhì cạnh sót lại trừ cút nhì thứ tự tích của nhì cạnh ê nhân với \(cosin\) của góc xen thân thuộc bọn chúng.

Ta sở hữu những hệ thức sau:  

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ trái khoáy của toan lí cosin:

\(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)

\(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

\(\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Áp dụng: Tính chừng lâu năm lối trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác \(ABC\) sở hữu những cạnh \(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\). Gọi \(m_a,m_b\) và \(m_c\) là chừng lâu năm những lối trung tuyến theo thứ tự vẽ kể từ những đỉnh \(A, B, C\) của tam giác. Ta có

\({m_{a}}^{2}\) =  \(\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}\)

\({m_{b}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}\)

\({m_{c}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}\)

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác \(ABC\) ngẫu nhiên, tỉ số thân thuộc một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh ê vì thế 2 lần bán kính của lối tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

\(\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)

với \(R\) là nửa đường kính lối tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác 

Xem thêm: Top 70 phim đồng tính nữ, phim bách hợp hay nhất mọi thời đại

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) được xem theo dõi một trong những công thức sau

\(S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A \) \(= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)\)   

\(S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)\)           

\(S = pr\, \,(3)\)              

\(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\)  (công thức  Hê - rông) \((4)\)

Trong đó:\(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\); \(R, r\) là nửa đường kính lối tròn trặn nước ngoài tiếp, bk lối tròn trặn nội tiếp và \(S\) là diện tích S tam giác ê.

3. Giải tam giác và phần mềm vô việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi kiếm những nhân tố (góc, cạnh) không biết của tam giác khi vẫn biết một trong những nhân tố của tam giác ê.

Muốn giải tam giác tao cần thiết tìm hiểu côn trùng contact Một trong những góc, cạnh vẫn mang đến với những góc, những cạnh không biết của tam giác trải qua những hệ thức và được nêu vô toan lí cosin, toan lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các việc về giải tam giác: Có 3 việc cơ phiên bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhì góc.

=> Dùng toan lí sin nhằm tính cạnh sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhì cạnh và góc xen giữa

=> Dùng toan lí cosin nhằm tính cạnh loại thân phụ. 

Sau ê sử dụng hệ trái khoáy của toan lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết thân phụ cạnh

Đối với việc này tao dùng hệ trái khoáy của toan lí cosin nhằm tính góc: 

    \(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)       

    \(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

    \(cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Chú ý: 

Xem thêm: 65+ Mẫu nail thạch nâu đẹp cuốn hút và sang chảnh nhất

1. Cần Note là 1 tam giác giải được khi tao biết 3 nhân tố của chính nó, vô ê nên sở hữu tối thiểu một nhân tố chừng lâu năm (tức là nhân tố góc ko được vượt lên trên 2)

2. Việc giải tam giác được dùng vô những việc thực tiễn, nhất là những việc đo lường.