$\S\;$ 1.9. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH.

Áp dụng công thức nằm trong đang được học tập ở bài xích trước, tao hoàn toàn có thể thiết lập được công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến hóa tổng kết quả như tại đây.

Với $a,b$ là những góc lượng giác, theo gót công thức nằm trong đang được học tập, tao có:

Bạn đang xem: $\S\;$ 1.9. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH.

(1) $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b;$

(2) $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b;$

(3) $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a;$

(4) $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a.$

Lấy (1) nằm trong (2) vế theo gót vế, tao được: $\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b$ $\Leftrightarrow \cos a\cos b=\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)].$

Lấy (1) trừ (2) vế theo gót vế, tao được: $\cos(a+b)-\cos(a-b)=-2\sin a\sin b$ $\Leftrightarrow \sin a\sin b=-\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)-\cos(a-b)].$

Lấy (3) nằm trong (4) vế theo gót vế, tao được: $\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b$ $\Leftrightarrow \sin a\cos b=\dfrac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)].$

Tóm lại, tao đang được minh chứng được những công thức sau (được gọi là Công thức biến hóa tích trở nên tổng):

$\cos a\cos b=\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)];$

$\sin a\sin b=-\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)-\cos(a-b)];$

$\sin a\cos b=\dfrac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)].$

Ví dụ 1: Tính $\sin\dfrac{5\pi}{24}\sin\dfrac{\pi}{24}.$

Giải:

$\sin\dfrac{5\pi}{24}\sin\dfrac{\pi}{24}$ $=-\dfrac{1}{2}\left[\cos\left(\dfrac{5\pi}{24}+\dfrac{\pi}{24}\right)-\cos\left(\dfrac{5\pi}{24}-\dfrac{\pi}{24}\right)\right]$ $=-\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}-\cos\dfrac{\pi}{6}\right)$ $=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ $=\dfrac{1}{4}(\sqrt{3}-\sqrt{2}).$

Ví dụ 2: Cho nhị góc lượng giác $x, hắn.$ Chứng minh rằng: $\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}.$

Giải:

Bắt đầu kể từ vế nên, tao minh chứng nó vày vế trái khoáy.

Ta có:

$VP=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$ $=2\cdot\dfrac{1}{2}\left[\cos\left(\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x-y}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{x+y}{2}-\dfrac{x-y}{2}\right)\right]$ $=\cos x+\cos y=VT.$

Công thức biến hóa tổng kết quả.

Cho $x,y$ là nhị góc lượng giác. sát dụng những công thức biến đổi tích thành tổng cho những góc lượng giác $a=\dfrac{x+y}{2}, b=\dfrac{x-y}{2}$ (tương tự động như cách tiến hành vô Ví dụ 2), tao minh chứng được những công thức sau (được gọi là Công thức biến hóa tổng trở nên tích):

$\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2};$

$\cos x-\cos y=-2\sin\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2};$

$\sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2};$

$\sin x-\sin y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}.$

Mẹo: Đọc nằm trong lòng “đoạn thơ” sau sẽ hỗ trợ tao ghi nhớ toàn bộ những công thức vừa vặn nêu:

“cos nằm trong cos = nhị phen cos cos,

cos trừ cos = trừ nhị sin sin,

sin nằm trong sin = nhị phen sin cos,

Xem thêm: Tổng hợp ảnh anime nam buồn cô đơn với cảm xúc sâu sắc

sin trừ sin = nhị phen cos sin”.

Ngoài rời khỏi, nằm trong công thức biến hóa TỔNG THÀNH TÍCH, tao hoàn toàn có thể suy rời khỏi được công thức biến hóa TÍCH THÀNH TỔNG (bằng cơ hội gọi ngược lại).

Ví dụ 3: Tính:

a) $\sin\dfrac{11\pi}{12}+\sin\dfrac{5\pi}{12}.$

b) $\cos 105^o-\cos 15^o.$

Giải:

a) $\sin\dfrac{11\pi}{12}+\sin\dfrac{5\pi}{12}$ $=2\sin\dfrac{\dfrac{11\pi}{12}+\dfrac{5\pi}{12}}{2}\cos\dfrac{\dfrac{11\pi}{12}-\dfrac{5\pi}{12}}{2}$ $=2\sin\dfrac{2\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}.$

Vì góc bù của góc $\dfrac{2\pi}{3}$ là góc $\pi-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}$ nên $\sin\dfrac{2\pi}{3}=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Ta có: $\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

Vậy $\sin\dfrac{11\pi}{12}+\sin\dfrac{5\pi}{12}$ $=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $=\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$

b) $\cos 105^o-\cos 15^o$ $=-2\sin\dfrac{105^o+15^o}{2}\sin\dfrac{105^o-15^o}{2}$ $=-2\sin 60^o\sin 45^o$ $=-2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$

Ví dụ 4: Rút gọn gàng biểu thức:

$\dfrac{\cos a+2\cos 2a+\cos 3a}{\sin a+2\sin 2a+\sin 3a}.$

Giải:

$\dfrac{\cos a+2\cos 2a+\cos 3a}{\sin a+2\sin 2a+\sin 3a}$ $=\dfrac{(\cos 3a+\cos a)+2\cos 2a}{(\sin 3a+\sin a)+2\sin 2a}$ $=\dfrac{2\cos\dfrac{3a+a}{2}\cos\dfrac{3a-a}{2}+2\cos 2a}{2\sin\dfrac{3a+a}{2}\cos\dfrac{3a-a}{2}+2\sin 2a}$ $=\dfrac{2\cos 2a\cos a+2\cos 2a}{2\sin 2a\cos a+2\sin 2a}$ $=\dfrac{2\cos 2a\cdot(\cos a+1)}{2\sin 2a\cdot(\cos a+1)}$ $=\dfrac{\cos 2a}{\sin 2a}$ $=\cot 2a.$

Bài tập:

1)- Tính độ quý hiếm những biểu thức sau:

a) $\sin\dfrac{2\pi}{9}-\sin\dfrac{5\pi}{9}+\sin\dfrac{8\pi}{9}.$

b) $\cos\dfrac{2\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{10\pi}{9}.$

2)- Cho góc $\alpha$ thỏa $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}.$ Tính $\cos 2\alpha$ và $\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right).$

Giải:

1)-

a) $\sin\dfrac{2\pi}{9}-\sin\dfrac{5\pi}{9}+\sin\dfrac{8\pi}{9}$ $=\left(\sin\dfrac{8\pi}{9}+\sin\dfrac{2\pi}{9}\right)-\sin\dfrac{5\pi}{9}$ $=2\sin\dfrac{\dfrac{8\pi}{9}+\dfrac{2\pi}{9}}{2}\cos\dfrac{\dfrac{8\pi}{9}-\dfrac{2\pi}{9}}{2}-\sin\dfrac{5\pi}{9}$ $=2\sin\dfrac{5\pi}{9}\cos\dfrac{\pi}{3}-\sin\dfrac{5\pi}{9}$ $=2\sin\dfrac{5\pi}{9}\cdot\dfrac{1}{2}-\sin\dfrac{5\pi}{9}$ $=\sin\dfrac{5\pi}{9}-\sin\dfrac{5\pi}{9}$ $=0.$

b) $\cos\dfrac{2\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{10\pi}{9}$ $=\left(\cos\dfrac{10\pi}{9}+\cos\dfrac{2\pi}{9}\right)+\cos\dfrac{4\pi}{9}$ $=2\cos\dfrac{\dfrac{10\pi}{9}+\dfrac{2\pi}{9}}{2}\cos\dfrac{\dfrac{10\pi}{9}-\dfrac{2\pi}{9}}{2}+\cos\dfrac{4\pi}{9}$ $=2\cos\dfrac{2\pi}{3}\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}$ $=2\cdot\dfrac{-1}{2}\cdot\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}$ $=-\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}$ $=0.$

2)- Cho góc $\alpha$ thỏa $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}.$ Tính $\cos 2\alpha$ và $\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right).$

+) Theo công thức góc nhân đôi:

$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ $=1-2\left(\dfrac{3}{5}\right)^2$ $=1-2\cdot\dfrac{9}{25}$ $=\dfrac{7}{25}.$

Xem thêm: Tổng quan về Life Coach: Khái niệm, lợi ích, phân loại

+) Ta có: $\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)+\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)=2\alpha$ và $\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)-\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\pi}{3}.$

Do cơ, theo gót công thức biến đổi tích thành tổng, tao có:

$\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)$ $=-\dfrac{1}{2}\left(\cos 2\alpha-\cos\dfrac{\pi}{3}\right)$ $=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{7}{25}-\dfrac{1}{2}\right)$ $=\dfrac{11}{100}.$