Ôn tập chương 2 Mặt nón, Mặt trụ, Mặt cầu - Lý thuyết Toán học 12 -

1. Các định nghĩa cần thiết nhớ

- Mặt nón, hình nón, khối nón.

Bạn đang xem: Ôn tập chương 2 Mặt nón, Mặt trụ, Mặt cầu - Lý thuyết Toán học 12 -

- Mặt trụ, hình trụ, khối trụ.

- Mặt cầu, khối cầu, địa điểm kha khá thân thiết mặt mũi cầu với đường thẳng liền mạch, mặt mũi phẳng phiu.

2. Các công thức tính thể tích và diện tích S cần thiết nhớ

a) Công thức tính diện tích S và thể tích tương quan cho tới hình nón, khối nón

Cho hình nón sở hữu lối sinh \(l\), nửa đường kính đáy \(R\), chiều cao \(h\), tớ sở hữu những công thức sau:

- Thể tích khối nón: 

\(V=\frac{1}{3}.S.h=\frac{1}{3}.\pi .R^{2}.h\).

- Diện tích xung xung quanh hình nón: 

\(S_{xq}=\pi Rl\).

- Diện tích toàn phần hình nón: 

\(S_{tp}=\pi Rl+\pi R^{2}\).

b) Các công thức đo lường và tính toán tương quan đển hình trụ, khối trụ

- Thể tích khối trụ: \(V=\pi .R^2.h\) (=Sđáy.h).

- Diện tích xung xung quanh hình trụ: 

\(S_{xq}=2\pi .R.h\).

- Diện tích toàn phân hình trụ: 

\(S_{tp}=2\pi .R.h+2\pi R^2\).

Trong đó:

+ R: nửa đường kính lòng.

+ h: độ cao (k/c thân thiết nhì lòng = OO').​

c) Công thức đo lường và tính toán liên qua chuyện cho tới mặt mũi cầu, khối cầu

- Công thức tính thể tích khối cầu nửa đường kính R: 

\(V=\frac{4}{3}\pi .R^3\).

- Công thức tính diện tích S mặt mũi cầu nửa đường kính R: 

\(S = 4\pi {R^2}.\)

3. Bài luyện Ôn tập 

Bài luyện 1: 

Cho tam giác ABC vuông bên trên A sở hữu AC = 3a, AB = 4a. Cho tam giác này xoay quanh đường thẳng liền mạch BC, tính thể tích V của khối tròn trặn xoay nhận được.

Lời giải:

Kẻ lối cao AH của ∆ABC

Khi tảo tam giác ABC xung quanh đường thẳng liền mạch BC miền tam giác ABC sinh đi ra nhì khối nón cộng đồng lòng sở hữu nửa đường kính lòng là R = AH và độ cao theo thứ tự là HB và HC.

Ta có: 

\({\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{16{a^2}}} + \frac{1}{{9{a^2}}} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.}\)

Suy ra \(A{H^2} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.\)

Mặt khác: 

\(HB + HC = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 5a.\)

Thể tích khối tròn trặn xoay sinh đi ra là:

\({V = {V_1} + {V_2} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.\left( {HB + HC} \right)}\)

\(= \frac{1}{3}\pi .\frac{{144{a^2}}}{{25}}.5a = \frac{{144\pi {a^2}}}{{15}}.\)

Bài luyện 2:

Cho một chiếc bể nước hình vỏ hộp chữ nhật sở hữu tía độ cao thấp 2m, 3m, 2m theo thứ tự là chiều nhiều năm, chiều rộng lớn, độ cao của lòng nhập đựng nước của bể. Từng Ngày nước ở nhập bể được kéo ra vì chưng một chiếc gáo hình trụ sở hữu độ cao là 5 centimet bà nửa đường kính lối tròn trặn lòng là 4 centimet. Trung bình một ngày được múc đi ra 170 gáo nước nhằm dùng (Biết từng phen múc là múc giàn giụa gáo). Hỏi cho tới ngày loại từng nào bể tiếp tục không còn nước?

Lời giải:

Thể tích nước được đựng giàn giụa nhập hình bể tà tà thể tích của hình vỏ hộp chữ nhật: 

\(V = 2.3.2 = 12\left( {{m^3}} \right).\)

Thể tích nước đựng giàn giụa nhập một gáo là: 

\({{V_g} = \pi {4^2}.5 = 80\pi \left( {c{m^3}} \right) = \frac{\pi }{{12500}}\left( {{m^3}} \right).}\)

Mội ngày bể được múc đi ra 170 gáo nước tức nhập một ngày lượng được được kéo ra là: 

\({V_m} = 170.{V_g} = \frac{{17}}{{1250}}\pi \left( {{m^3}} \right)\).

Ta có: \(\frac{V}{{{V_m}}} = \frac{{12}}{{\frac{{17}}{{1250}}\pi }} \simeq 280,8616643\)

Vậy cho tới ngày loại 281 bể tiếp tục không còn nước.

Bài luyện 3: 

Một trái khoáy bóng bàn và một cái chén hình trụ sở hữu nằm trong độ cao. Người tớ bịa trái khoáy bóng lên cái chén thấy phần ở ngoài của trái khoáy bóng sở hữu độ cao bằng \(\frac{3}{4}\) chiều cao của chính nó. Tìm V₁, V₂ lần lượt là thể tích của trái khoáy bóng và cái chén. 

Lời giải:

Gọi độ cao của cái chén hình trụ là 2h và nửa đường kính lối tròn trặn lòng của hình trụ là r.

Gọi O là tâm của trái khoáy bóng bàn, Khi ê khoảng cách kể từ O cho tới mặt mũi phẳng phiu tiết diện bằng \(\frac{h}{2}\) 

Bán kính lối tròn trặn lòng hình trụ là: 

\(AI = \sqrt {O{A^2} - O{I^2}} = \frac{{h\sqrt 3 }}{2}.\)

Thể tích của trái khoáy bóng bàn là: 

\({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {h^3} = \frac{{4\pi {h^3}}}{3}.\)

Thể tích của cái chén là: 

\({{V_2} = \pi {r^2}{h_c} = \pi {{\left( {\frac{{h\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}.2h = \frac{{3\pi {h^3}}}{2}}\)

Bài luyện 4:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân nặng tại A, BC = 2a. SA vuông góc (ABC) và \(SA = 2a\sqrt 2\). Tính thể tích V của khối cầu nước ngoài tiếp hình chóp vẫn mang lại.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

Do ABC là tam giác vuông cân nặng bên trên A nên: 

\(AB = AC = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 ;AM = \frac{{BC}}{2} = a\)  

Dựng đường thẳng liền mạch qua chuyện M tuy nhiên song với SA và hạn chế mặt mũi phẳng phiu trung trực của SA bên trên 0.

Khi đó O là tâm mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp.

Do ABCD là hình chữ nhật nên: 

\(OM=AE=a \sqrt 2.\)

Mặc khác:

\(\begin{array}{l}
R = OA = \sqrt {O{M^2} + M{A^2}} \\
 = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3 
\end{array}\)

Vậy thể tích khối cầu nước ngoài tiếp hình chóp là: 

\(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 4\pi {a^3}\sqrt 3 .\)

Xem thêm: Những bức Vẽ hình xăm nhật cổ mini với nhiều phong cách

1. Các định nghĩa cần thiết nhớ

- Mặt nón, hình nón, khối nón.

- Mặt trụ, hình trụ, khối trụ.

- Mặt cầu, khối cầu, địa điểm kha khá thân thiết mặt mũi cầu với đường thẳng liền mạch, mặt mũi phẳng phiu.

2. Các công thức tính thể tích và diện tích S cần thiết nhớ

a) Công thức tính diện tích S và thể tích tương quan cho tới hình nón, khối nón

Cho hình nón sở hữu lối sinh \(l\), nửa đường kính đáy \(R\), chiều cao \(h\), tớ sở hữu những công thức sau:

- Thể tích khối nón: 

\(V=\frac{1}{3}.S.h=\frac{1}{3}.\pi .R^{2}.h\).

- Diện tích xung xung quanh hình nón: 

\(S_{xq}=\pi Rl\).

- Diện tích toàn phần hình nón: 

\(S_{tp}=\pi Rl+\pi R^{2}\).

b) Các công thức đo lường và tính toán tương quan đển hình trụ, khối trụ

- Thể tích khối trụ: \(V=\pi .R^2.h\) (=Sđáy.h).

- Diện tích xung xung quanh hình trụ: 

\(S_{xq}=2\pi .R.h\).

- Diện tích toàn phân hình trụ: 

\(S_{tp}=2\pi .R.h+2\pi R^2\).

Trong đó:

+ R: nửa đường kính lòng.

+ h: độ cao (k/c thân thiết nhì lòng = OO').​

c) Công thức đo lường và tính toán liên qua chuyện cho tới mặt mũi cầu, khối cầu

- Công thức tính thể tích khối cầu nửa đường kính R: 

\(V=\frac{4}{3}\pi .R^3\).

- Công thức tính diện tích S mặt mũi cầu nửa đường kính R: 

\(S = 4\pi {R^2}.\)

3. Bài luyện Ôn tập 

Bài luyện 1: 

Cho tam giác ABC vuông bên trên A sở hữu AC = 3a, AB = 4a. Cho tam giác này xoay quanh đường thẳng liền mạch BC, tính thể tích V của khối tròn trặn xoay nhận được.

Lời giải:

Kẻ lối cao AH của ∆ABC

Khi tảo tam giác ABC xung quanh đường thẳng liền mạch BC miền tam giác ABC sinh đi ra nhì khối nón cộng đồng lòng sở hữu nửa đường kính lòng là R = AH và độ cao theo thứ tự là HB và HC.

Ta có: 

\({\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{16{a^2}}} + \frac{1}{{9{a^2}}} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.}\)

Suy ra \(A{H^2} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.\)

Mặt khác: 

\(HB + HC = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 5a.\)

Thể tích khối tròn trặn xoay sinh đi ra là:

\({V = {V_1} + {V_2} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.\left( {HB + HC} \right)}\)

\(= \frac{1}{3}\pi .\frac{{144{a^2}}}{{25}}.5a = \frac{{144\pi {a^2}}}{{15}}.\)

Bài luyện 2:

Cho một chiếc bể nước hình vỏ hộp chữ nhật sở hữu tía độ cao thấp 2m, 3m, 2m theo thứ tự là chiều nhiều năm, chiều rộng lớn, độ cao của lòng nhập đựng nước của bể. Từng Ngày nước ở nhập bể được kéo ra vì chưng một chiếc gáo hình trụ sở hữu độ cao là 5 centimet bà nửa đường kính lối tròn trặn lòng là 4 centimet. Trung bình một ngày được múc đi ra 170 gáo nước nhằm dùng (Biết từng phen múc là múc giàn giụa gáo). Hỏi cho tới ngày loại từng nào bể tiếp tục không còn nước?

Lời giải:

Thể tích nước được đựng giàn giụa nhập hình bể tà tà thể tích của hình vỏ hộp chữ nhật: 

\(V = 2.3.2 = 12\left( {{m^3}} \right).\)

Thể tích nước đựng giàn giụa nhập một gáo là: 

\({{V_g} = \pi {4^2}.5 = 80\pi \left( {c{m^3}} \right) = \frac{\pi }{{12500}}\left( {{m^3}} \right).}\)

Mội ngày bể được múc đi ra 170 gáo nước tức nhập một ngày lượng được được kéo ra là: 

\({V_m} = 170.{V_g} = \frac{{17}}{{1250}}\pi \left( {{m^3}} \right)\).

Ta có: \(\frac{V}{{{V_m}}} = \frac{{12}}{{\frac{{17}}{{1250}}\pi }} \simeq 280,8616643\)

Vậy cho tới ngày loại 281 bể tiếp tục không còn nước.

Bài luyện 3: 

Một trái khoáy bóng bàn và một cái chén hình trụ sở hữu nằm trong độ cao. Người tớ bịa trái khoáy bóng lên cái chén thấy phần ở ngoài của trái khoáy bóng sở hữu độ cao bằng \(\frac{3}{4}\) chiều cao của chính nó. Tìm V₁, V₂ lần lượt là thể tích của trái khoáy bóng và cái chén. 

Lời giải:

Gọi độ cao của cái chén hình trụ là 2h và nửa đường kính lối tròn trặn lòng của hình trụ là r.

Gọi O là tâm của trái khoáy bóng bàn, Khi ê khoảng cách kể từ O cho tới mặt mũi phẳng phiu tiết diện bằng \(\frac{h}{2}\) 

Bán kính lối tròn trặn lòng hình trụ là: 

\(AI = \sqrt {O{A^2} - O{I^2}} = \frac{{h\sqrt 3 }}{2}.\)

Thể tích của trái khoáy bóng bàn là: 

\({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {h^3} = \frac{{4\pi {h^3}}}{3}.\)

Thể tích của cái chén là: 

\({{V_2} = \pi {r^2}{h_c} = \pi {{\left( {\frac{{h\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}.2h = \frac{{3\pi {h^3}}}{2}}\)

Bài luyện 4:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân nặng tại A, BC = 2a. SA vuông góc (ABC) và \(SA = 2a\sqrt 2\). Tính thể tích V của khối cầu nước ngoài tiếp hình chóp vẫn mang lại.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

Do ABC là tam giác vuông cân nặng bên trên A nên: 

\(AB = AC = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 ;AM = \frac{{BC}}{2} = a\)  

Dựng đường thẳng liền mạch qua chuyện M tuy nhiên song với SA và hạn chế mặt mũi phẳng phiu trung trực của SA bên trên 0.

Khi đó O là tâm mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp.

Do ABCD là hình chữ nhật nên: 

\(OM=AE=a \sqrt 2.\)

Mặc khác:

Xem thêm: 100+ Hình ảnh chúc ngày mới buổi sáng tốt lành ý nghĩa nhất

\(\begin{array}{l}
R = OA = \sqrt {O{M^2} + M{A^2}} \\
 = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3 
\end{array}\)

Vậy thể tích khối cầu nước ngoài tiếp hình chóp là: 

\(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 4\pi {a^3}\sqrt 3 .\)