50 bài toán về thể tích khối chóp (có đáp án 2024) | Toán 12

Thể tích khối chóp và cơ hội giải bài bác tập - Toán lớp 12

Bạn đang xem: 50 bài toán về thể tích khối chóp (có đáp án 2024) | Toán 12

Ví dụ 1: Cho khối chóp S. ABC đem SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8. Tính thể tích khối chóp S. ABC.

A. V = 40.

B. V = 192.

C. V = 32.

D. V = 24.

Hướng dẫn giải

Ta đem $A{B}^2+A{C}^2=6^2+8^2={10}^2=B{C}^2$ suy đi ra tam giác ABC vuông bên trên A (theo lăm le lý Py – tao – go đảo), bởi vậy diện tích S tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}\mathrm{.6.8}=24$

Vì SA vuông góc với lòng nên SA là đàng cao của hình chóp.

Do ê h = SA = 4.

Vậy $V_{SABC}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABC}=\frac{1}{3}\mathrm{.4.24}=32$ (đvtt).

Chọn C.

Dạng 2: Khối chóp mang trong mình 1 mặt mũi mặt vuông góc với đáy

Xét hình chóp S. ABCD xuất hiện mặt mũi $\left(SAD\right)\perp \left(ABCD\right)$

Đường cao của hình chóp là đàng cao của tam giác SAD. Chứng minh:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(SAD\right)\perp \left(ABCD\right)\\ \left(SAD\right)\cap \left(ABCD\right)=AD\\ SH\subset \left(SAD\right)\\ SH\perp AD\end{array}\right. \\ \Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right) \end{gathered}$$

Đặc biệt nếu như tam giác SAD cân nặng hoặc đều thì đàng cao cũng chính là đàng trung tuyến và đàng phân giác.

$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SH$

Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABC đem lòng ABC là tam giác đều cạnh 2a, tam giác SAB là tam giác đều và ở trong mặt mũi phẳng phiu vuông góc với mặt mũi lòng. Thể tích khối chóp S. ABC là

A. $V=\frac{a^3}{2}$

B. $V=a^3$

C. $V=\frac{3a^3}{2}$

D. $V=3a^3$

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Dạng 3: Thể tích khối chóp đều.

Xét hình chóp tứ giác đều S. ABCD

+) Các mặt mũi mặt là những tam giác cân nặng bên trên S.

+) Đáy ABCD là hình vuông vắn.

+) Đường cao là SO với O là tâm của lòng.

+) Các mặt mũi mặt tạo nên với lòng những góc cân nhau và vị góc SMO (với M là trung điểm của BC).

+) Các cạnh mặt mũi tạo nên với lòng những góc vị nhau:

$$\begin{gathered} \widehat{SAO}=\widehat{SBO}=\widehat{SCO}=\widehat{SDO} \\ \Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}.SO \end{gathered}$$

Chú ý:

a) Với hình chóp tam giác đều tao thực hiện tương tự động.

b) Với tứ diện đều:

Xét tứ diện đều ABCD:

DH là đàng cao của tứ diện đều (Với H là trọng tâm tam giác ABC).

Suy đi ra thể tích của khối tứ diện đều ABCD là $V=\frac{1}{3}.S_{ABC}.DH$ .

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD đem cạnh lòng vị a và cạnh mặt mũi tạo nên với mặt mũi phẳng phiu lòng một góc ${60}^0$ . Tính thể tích của khối chóp S. ABCD.

A. $V=\frac{a^3\sqrt{6}}{2}$

B. $V=\frac{a^3\sqrt{6}}{3}$

C. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

D. $V=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm hình vuông vắn ABCD, suy đi ra $SO\perp \left(ABCD\right)$ .

Hình chóp tứ giác đều sở hữu lòng là hình vuông vắn nên tao đem : $S_{ABCD}=a^2$ và $BD=a\sqrt{2}$ . Suy đi ra $BO=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ta đem OB là hình chiếu vuông góc của SB lên phía trên mặt phẳng phiu (ABCD) nên góc thân thiện cạnh mặt mũi SB với lòng là góc SBO vị ${60}^0$ .

Suy đi ra độ cao SO :

$$\begin{gathered} SO=OB.\tan \widehat{SBO} \\ =\frac{a\sqrt{2}}{2}.\tan {60}^0=\frac{a\sqrt{6}}{2} \end{gathered}$$

Vậy :

$$\begin{gathered} V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SO \\ =\frac{1}{3}.a^2.\frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{6} \end{gathered}$$

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho khối chóp tam giác đều S. ABC đem cạnh lòng vị a và cạnh mặt mũi vị 2a. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC.

A. $V=\frac{\sqrt{13}{a}^3}{12}$

B. $V=\frac{\sqrt{11}{a}^3}{12}$

C. $V=\frac{\sqrt{11}{a}^3}{6}$

D. $V=\frac{\sqrt{11}{a}^3}{4}$

Xem thêm: Tuổi Giáp Thân 2004 mệnh gì? Hợp màu gì, hợp tuổi gì, hướng nào tốt? | Mytour

Hướng dẫn giải

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC suy đi ra $SO\perp \left(ABCD\right)$ .

Do lòng là tam giác đều nên gọi I là trung điểm cạnh BC, Lúc ê AI là đàng cao của tam giác lòng.

Ta có: BC = a nên $BI=\frac{a}{2}$ .

Áp dụng lăm le lý Pytago vô tam giác vuông ABI tao có:

$$\begin{gathered} AI=\sqrt{A{B}^2-B{I}^2} \\ =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

Ta có: $AO=\frac{2}{3}AI=\frac{2a\sqrt{3}}{3.2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ (Do O là trọng tâm tam giác ABC).

Áp dụng lăm le lý Pytago vô tam giác SOA vuông bên trên O tao đem

$$\begin{gathered} SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2} \\ =\sqrt{4a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{\sqrt{11}a}{\sqrt{3}} \end{gathered}$$

Vậy thể tích khối chóp S. ABC là:

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}.SO \\ =\frac{1}{3}.\frac{1}{2}a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{11}a}{\sqrt{3}} \\ =\frac{\sqrt{11}{a}^3}{12} \end{gathered}$$

Chọn B.

Dạng 4: Cạnh mặt mũi hoặc mặt mũi mặt tạo nên với lòng một góc $\alpha$ và một trong những vấn đề khác

Các fake thiết của vấn đề này khá phong phú, tuy vậy cơ hội giải của những vấn đề này ở ở cả hai bước sau:

+) Cách 1: Xác lăm le được góc trên hình vẽ.

+) Cách 2: gí dụng những hệ thức lượng vô tam giác nhằm tính những nguyên tố cạnh tương quan cho tới độ cao và diện tích S lòng.

Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác S. ABC đem SA = 2a. SA tạo nên với mặt mũi phẳng phiu (ABC) góc $30°$. Tam giác ABC vuông cân nặng bên trên B, G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt mũi phẳng phiu (SGB), (SGC) nằm trong vuông góc với mặt mũi phẳng phiu lòng. Tính thể tích của khối chóp S. ABC theo đòi a.

A. $\frac{27a^3}{10}$

B. $\frac{9a^3}{10}$

C. $\frac{9a^3}{40}$

D. $\frac{81a^3}{10}$

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABM vuông bên trên B, có:$A{B}^2+B{M}^2=A{M}^2$ (định lý Py – tao – go)

$$\begin{gathered} \iff A{B}^2+\frac{1}{4}A{B}^2=A{M}^2 \\ \iff \frac{5}{4}A{B}^2=\frac{27a^2}{4} \\ \iff AB=\frac{3a\sqrt{15}}{5} \end{gathered}$$

Vì tam giác ABC vuông cân nặng bên trên B nên:

$$\begin{gathered} BC=BA=\frac{3a\sqrt{15}}{5} \\ {V}_{SABC}=\frac{1}{3}SG.S_{\Delta ABC} \\ =\frac{1}{3}.SG.\frac{1}{2}.BA.BC \\ =\frac{1}{3}a.\frac{1}{2}{\left(\frac{3a\sqrt{15}}{5}\right)}^2=\frac{9a^3}{10} \end{gathered}$$

Chọn B.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Cho hình chóp tam giác S. ABC đem lòng ABC là tam giác vuông bên trên A, AB = a, AC = 2a, cạnh mặt mũi SA vuông góc với mặt mũi lòng và SA = a. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC.

A. $V=a^3$

B. $V=\frac{a^3}{2}$

C. $V=\frac{a^3}{3}$

D. $V=\frac{a^3}{4}$

Câu 2: Cho hình chóp tam giác S. ABC đem lòng ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh mặt mũi SA vuông góc với mặt mũi lòng và SA = a. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC.

A. $V=\frac{2a^3}{3}$

B. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

C. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

D. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD đem lòng ABCD là hình vuông vắn cạnh a, cạnh mặt mũi SA vuông góc với mặt mũi lòng và $SA=a\sqrt{2}$ . Tính thể tích V của khối chóp S. ABCD.

A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$

C. $a^3\sqrt{2}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

Câu 4: Cho hình chóp S. ABC đem lòng ABC là tam giác vuông cân nặng bên trên A, BC = 2a. Mặt mặt mũi SBC là tam giác vuông cân nặng bên trên S và ở trong mặt mũi phẳng phiu vuông góc với lòng. Tính thể tích khối chóp S. ABC.

A. $V=a^3.$

B. $V=\frac{2a^3}{3}.$

C. $V=\frac{\sqrt{2}{a}^3}{3}.$

D. $V=\frac{a^3}{3}.$

Câu 5: Cho hình chóp S. ABCD đem lòng ABCD là hình vuông vắn cạnh $2a\sqrt{3}$, mặt mũi mặt SAB là tam giác đều và ở trong mặt mũi phẳng phiu vuông góc với lòng. Thể tích của khối chóp S. ABCD là

A. $12a^3$

B. $14a^3$

C. $15a^3$

D. $17a^3$

Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a. Tam giác SAB cân nặng bên trên S và ở trong mặt mũi phẳng phiu vuông góc với lòng, SC tạo nên với lòng một góc $45°$ . Thể tích khối chóp S. ABCD là

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3}2\sqrt{2}}{3}$

C. $2\sqrt{2}{a}^3$

D. $\frac{2a^3}{3}$

Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC đem cạnh lòng vị a và độ cao của hình chóp là $a\sqrt{2}$ . Tính theo đòi a thể tích khối chóp S. ABC.

A. $\frac{a^3\sqrt{6}}{4}$

B. $\frac{a^3\sqrt{6}}{12}$

C. $\frac{a^3}{6}$

D. $\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$

Câu 8: Tính thể tích của chóp tam giác đều sở hữu toàn bộ những cạnh đều vị a.

A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$

C. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

Câu 9: Cho (H) là khối chóp tứ giác đều sở hữu toàn bộ những cạnh vị a. Thể tích của (H) bằng

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a^3}{3}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

Câu 10: Cho hình chóp S. ABC đem diện tích S lòng là 5, độ cao đem số đo cấp 3 phiên diện tích S lòng. Thể tích của khối chóp ê là

A. $\frac{125}{3}$

B. 125

C. $\frac{25}{3}$

D. 25.

Câu 11: Cho khối chóp S. ABCD đem lòng là hình chữ nhật đem chiều rộng lớn 2a, chiều nhiều năm 3a. Chiều cao của khối chóp là 4a. Thể tích khối chóp S. ABCD tính theo đòi a là

A. $V=8a^3$

B. $V=24a^3$

C. $V=9a^3$

D. $V=40a^3$ .

Xem thêm: Hướng dẫn vẽ con khủng long đơn giản với 8 bước cho bé

BẢNG ĐÁP ÁN