Cách giải mọi phương trình bậc ba (cách tổng quát)

Trong nội dung bài viết 3 cơ hội giải phương trình bậc tía thì tôi đã chỉ dẫn mang lại chúng ta cơ hội giải một tờ phương trình bậc tía sở hữu dạng quan trọng rồi.

Với những kiến thức và kỹ năng vô nội dung bài viết bại liệt thì bạn đã sở hữu thể giải được đa số những phương trình bậc tía thông thường bắt gặp vô sách giáo khoa, sách bài xích tập dượt, sách xem thêm, …

Bạn đang xem: Cách giải mọi phương trình bậc ba (cách tổng quát)

Tuy nhiên, với cùng một phương trình bậc tía không tồn tại gì quan trọng, hoặc rằng cách thứ hai là nhằm giải một phương trình bậc tía ngẫu nhiên thì ko thể thực hiện được.

Vậy nên, nhằm mục tiêu xử lý điểm yếu kém bại liệt thì vô nội dung bài viết ngày thời điểm ngày hôm nay tất cả chúng ta tiếp tục bên cạnh nhau lần hiểu về thuật giải từng phương trình bậc tía nha chúng ta. Đây là cơ hội tổng quát lác nhằm giải phương trình bậc 3.

#1. Phương trình bậc tía một ẩn là gì?

Phương trình bậc tía một ẩn sở hữu dạng $a’x^3+b’x^2+c’x+d’=0$ $(a’ \neq 0)$, với $a’, b’, c’, d’$ là những số thực mang lại trước.

Chia nhị vế của phương trình mang lại $a’$ tao sẽ tiến hành phương trình $x^3+ax^2+bx+c=0$ $(*)$ tương tự với phương trình đang được mang lại.

Các ngôi nhà Toán học tập đang được minh chứng được từng phương trình bậc tía một ẩn đều rất có thể đem về phương trình $(*)$

Vậy nên, vô nội dung bài viết này tất cả chúng ta tiếp tục bên cạnh nhau lần hiểu cơ hội giải phương trình $(*)$ nhằm rời quá rườm kiểm tra khi trình diễn tiếng giải.

#2. Các bước giải phương trình bậc ba

Bước 1. Đặt $y=x+\frac{a}{3}$ hoặc $x=y-\frac{a}{3}$

Bước 2. Thay $x=y-\frac{a}{3}$ vô phương trình $(*)$ tao được phương trình $\left(y-\frac{a}{3}\right)^3+a\left(y-\frac{a}{3}\right)^2+b\left(y-\frac{a}{3}\right)+c=0$ hoặc $y^3+\left(-\frac{a^2}{3}+b\right)y+\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c=0$

Bước 3. Đặt $p=-\frac{a^2}{3}+b$, $q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c$ tao được phương trình $y^3+py+q=0$ $(**)$

Bước 4. sát dụng công thức nghiệm trong phòng Toán học tập người Ý (Cardano Ginolamo)

$y_1=u_1+v_1$, $y_2=u_1\varepsilon+v_1\varepsilon^2$, $y_3=u_1\varepsilon^2+v_1\varepsilon$ với $u_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$, $v_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$, $\varepsilon=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$, $\varepsilon^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Bước 5. Với từng độ quý hiếm $y_1, y_2, y_3$ tìm ra ở Bước 4 thì tất cả chúng ta tiếp tục thứu tự thay cho vô phương trình $y=x+\frac{a}{3}$ nhằm lần rời khỏi nghiệm của phương trình đang được mang lại.

Đến phía trên tất cả chúng ta đang được rất có thể giải được từng phương trình bậc tía, tuy vậy chúng ta nên coi góp phần #4 bên dưới (Biện luận về số nghiệm của phương trình bậc ba) và phần #5 (Căn bậc tía đơn vị) nhằm hiểu tăng về thuật giải, rời cần lưu giữ một cơ hội công cụ rất nhiều loại.

#3. Nhắc lại nhị hằng đẳng thức sở hữu liên quan

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Việc áp dụng đảm bảo chất lượng nhị hằng đẳng thức này sẽ hỗ trợ tất cả chúng ta thu gọn gàng thời gian nhanh phương trình $\left(y-\frac{a}{3}\right)^3+a\left(y-\frac{a}{3}\right)^2+b\left(y-\frac{a}{3}\right)+c=0$

#4. Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba

Đặt $\Delta=-(4p^3+27q^2)$

• Nếu $\Delta>0$ phương trình sở hữu tía nghiệm thực phân biệt
• Nếu $\Delta=0$ phương trình sở hữu tía nghiệm thực (một nghiệm đơn, một nghiệm bội hai), rõ ràng là $y_1=2u_1, y_2=y_3=u_1(\varepsilon+\varepsilon^2)=-u_1$
• Nếu $\Delta<0$ phương trình sở hữu một nghiệm thực và nhị nghiệm phức liên hợp

Nhờ vô số nghiệm của phương trình bậc tía thì tất cả chúng ta rất có thể giải thời gian nhanh phương trình, quan trọng khi phương trình sở hữu một nghiệm menu và một nghiệm thực bội nhị.

#5. Căn bậc tía đơn vị

Khai căn bậc tía số phức $1$ hoặc $1+0i$ tất cả chúng ta tiếp tục nhận được $1, \varepsilon, \varepsilon^2$

Thật vậy:

Số phức $1+0i$ sở hữu dạng lượng giác là $\cos(0)+i\sin(0)$

• $\sqrt[3]{1}=\cos\left(\frac{0+0.2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{0+0.2\pi}{3}\right)=1$
• $\sqrt[3]{1}=\cos\left(\frac{0+1.2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{0+1.2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\varepsilon$
• $\sqrt[3]{1}=\cos\left(\frac{0+2.2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{0+2.2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=\varepsilon^2$

Nhờ vô công thức khai căn bậc tía của số phức $1$ tuy nhiên tất cả chúng ta rất có thể tìm ra độ quý hiếm của $\varepsilon, \varepsilon^2$ nếu như không lưu giữ nổi.

#6. Bài tập dượt ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình $x^3+3x^2-3x-14=0$

Cách 1. Giải bởi vì công thức nghiệm tổng quát

Đặt $y=x+\frac{3}{3}$ hoặc $x=y-1$

Thay $x=y-1$ vô phương trình đang được mang lại tao được phương trình $(y-1)^3+3(y-1)^2-3(y-1)-14=0 \Leftrightarrow y^3-6y-9=0$

Xem thêm: Đặt tên con gái sinh cuối năm 2023 theo phong thủy mang may mắn suốt đời

Áp dụng công thức của Cardano Ginolamo tao được $u_1=\sqrt[3]{-\frac{-9}{2}+\sqrt{\frac{(-9)^2}{4}+\frac{(-6)^3}{27}}}=2$ và $v_1=\sqrt[3]{-\frac{-9}{2}-\sqrt{\frac{(-9)^2}{4}+\frac{(-6)^3}{27}}}=1$

Suy ra:

$y_1=2+1=3$

$y_2=2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)+1\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

$y_3=2\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)+1\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

• Với $y_1=3$ tao được phương trình $3=x+1 \Leftrightarrow x=2$
• Với $y_2=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ tao được phương trình $-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=x+1 \Leftrightarrow x=-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
• Với $y_3=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ tao được phương trình $-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=x+1 \Leftrightarrow x=-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Vậy tập dượt nghiệm của phương trình đang được nghĩ rằng $\left\{2, -\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}$

Cách 2. Giải bởi vì cách thức nhẩm nghiệm nguyên

Nếu phương trình đang được mang lại sở hữu nghiệm vẹn toàn thì chỉ rất có thể là 1 trong những trong số ước của $-14$

Các ước của $-14$ là $\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 4$

Lần lượt test những ước bên trên tao thấy $2$ là nghiệm của phương trình đang được mang lại.

Lấy vế trái khoáy của phương trình đang được mang lại phân chia mang lại $x-2$ tao được $x^2+5x+7$

Từ bại liệt tao sở hữu sự phân tách $x^3+3x^2-3x-14=(x-2)(x^2+5x+7)$

Suy rời khỏi $x^3+3x^2-3x-14=0 \Leftrightarrow (x-2)(x^2+5x+7) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x-2=0 \\ x^2+5x+7=0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=2 \\ \left[\begin{array}{l}x=-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ x=-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{array}\right.\end{array}\right.$

Vậy tập dượt nghiệm của phương trình đang được nghĩ rằng $\left\{2, -\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}$

Ví dụ 2. Giải phương trình $x^3-\sqrt{2}x^2+x-\sqrt{2}=0$

Nhận xét

• Phương trình không tồn tại điểm gì quan trọng, suy rời khỏi các bạn ko thể dùng hệ trái khoáy của tấp tểnh lí Vi ét cũng ko thể nhẩm nghiệm vẹn toàn, nghiệm hữu tỉ
• Cách tối ưu nhất nhằm giải phương trình này là sử công thức nghiệm tổng quát

Phần tiếng giải giành riêng cho chúng ta vì như thế trọn vẹn tương tự động như Ví dụ 1

…

Vậy tập dượt nghiệm của phương trình đang được nghĩ rằng $\{\sqrt{2}, i, -i\}$

#7. Lời kết

Okay, như thế là cho tới phía trên thì chúng ta đang được biết cách giải được từng phương trình bậc ba, hoặc rằng cách thứ hai là tìm ra công thức nghiệm tổng quát lác rồi bại liệt.

Tuy nhiên, chỉ lúc nào thiệt sự quan trọng (phương trình bậc tía không tồn tại điểm gì quan trọng, ko thể giải được bởi vì những cơ hội quan trọng, …) thì mới có thể dùng phương pháp này nha chúng ta, giản dị là vì như thế phương pháp này khá nhiều năm nên dễ dàng sơ sót vô quy trình đo lường và tính toán.

Hi vọng nội dung bài viết này tiếp tục hữu ích với các bạn. Xin Chào thân ái và hứa hội ngộ chúng ta trong mỗi nội dung bài viết tiếp theo sau !

Xem thêm: Tuổi Bính Tý 1996 mệnh gì? Hợp màu gì? Hợp tuổi nào? Công việc gì?

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn