Tích Vectơ Với Một Số: Lý Thuyết Và Bài Tập - Toán 10

1. Lý thuyết cơ phiên bản về tích vectơ với cùng một số

1.1. Định nghĩa tích vectơ với cùng một số

Bạn đang xem: Tích Vectơ Với Một Số: Lý Thuyết Và Bài Tập - Toán 10

Tích của vectơ với một trong những được khái niệm như sau:

Cho một trong những thực $k\neq 0$, vectơ $\vec{a}\neq 0$. 

Tích của vectơ $\vec{a}$ với một trong những thực $k\neq 0$ là một vectơ, kí hiệu k$\vec{a}$, nằm trong phía với vectơ $\vec{a}$ nếu như k>0, ngược phía với vectơ $\vec{a}$ nếu như k<0, vecto k$\vec{a}$ có tính lâu năm vì chưng $\left | k \right |\left | \vec{a} \right |$.

Quy ước: $0\vec{a}$=0; k$\vec{0}$=$\vec{0}$

1.2. Tính hóa học tích của vectơ với cùng 1 số 

Tích của vectơ với một trong những với những tính chất:

a, Tính phân phối với quy tắc nằm trong vectơ:

$k(\vec{m}+\vec{n})=k\vec{m}+k\vec{n}$

b, Tính phân phối với quy tắc với những số:

$(a+b)\vec{x}=a\vec{x}+b\vec{x}$

c, Tính kết hợp:

$a(\vec{bc})=(ab)\vec{c}$

d, $1\vec{a}=\vec{a}, (-1)\vec{a}=-\vec{a}$

e, $k\vec{a}=0 \Leftrightarrow k=0$ hoặc $\vec{a}=0$

Áp dụng: 

• Nếu E là trung điểm của đoạn trực tiếp MN thì với từng điểm I, tớ có: 

               $\vec{IM}+\vec{IN}=2\vec{IE}$

• Nếu U là trọng tâm tam giác NCT thì từng điểm I tớ có:

               $\vec{IN}+\vec{IC}+\vec{IT}=3\vec{IU}$

1.3. Điều khiếu nại nhằm nhị vectơ nằm trong phương

• Điều khiếu nại cần thiết và đầy đủ nhằm vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b} (\vec{b}\neq 0)$ nằm trong phương là tồn bên trên một trong những k sao mang lại $\vec{a}=k\vec{b}$.

• Ba điểm phân biệt M, N, O trực tiếp mặt hàng Khi và chỉ Khi với số $k\neq 0$ để $\vec{MN}=k\vec{MO}$.

1.4. Cách phân tách một vectơ trở nên nhị vectơ ko nằm trong phương

Cho vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b}$ là nhị vectơ ko nằm trong phương. Khi bại từng vectơ kđều được màn trình diễn một cơ hội có một không hai theo đòi nhị vecto $\vec{a},\vec{b}$: $\vec{k}=m\vec{a}+n\vec{b}$, nhập bại m, n là những số thực có một không hai.

Đăng ký ngay lập tức và để được những thầy cô ôn tập luyện và xây cất quãng thời gian ôn đua trung học phổ thông môn Toán vững vàng vàng

2. Một số bài xích tập luyện tích của vectơ với cùng một số

2.1. Tính phỏng lâu năm vectơ

Phương pháp giải: Sử dụng khái niệm và những quy tắc nằm trong, trừ những vectơ nhằm dựng vectơ chứa chấp tích của vectơ với một trong những, kết phù hợp với những lăm le lý Pytago, hệ thức lượng nhập tam giác vuông nhằm tính phỏng lâu năm vectơ.

Ví dụ 1: Tam giác ABC đều, cạnh a, lấy M là trung điểm cạnh BC. Dựng những vectơ tiếp sau đây và tính phỏng lâu năm của chúng:

a, $\vec{MA}+\frac{1}{2} \vec{CB}$

b, $\vec{BA}-\frac{1}{2} \vec{BC}$

c, $2\vec{AC}+\frac{11}{2} \vec{AB}$

d, $\frac{5}{2}\vec{MB}+\frac{3}{4}\vec{MA}$

Lời giải: 

a, Ta có: $\frac{1}{2}\vec{CB}=\vec{CM}$

Theo quy tắc 3 điểm tớ được: 

$\frac{1}{2}\vec{CB}+\vec{MA}=\vec{CM}+\vec{MA}=\vec{CA}$

Vậy: $\left | \frac{1}{2} \vec{CB+\vec{MA}}\right |=\left | \vec{CA} \right |=a$

b, Vì $\vec{BM}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ nên theo đòi quy tắc trừ tớ có:

$\vec{BA}-\frac{1}{2}\vec{BC}=\vec{BA}-\vec{BM}=\vec{MA}$

Theo lăm le lý Pytago tớ có: $MA=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy, $\left | \vec{BA}-\frac{1}{2}BC \right |=\vec{MA}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

c, Lấy điểm N là trung điểm của đoạn AB, Q đối xứng C qua loa A, P.. là đỉnh của hình bình hành APQN

d, Lấy điểm K nằm trong đoạn AM sao mang lại $MK=\frac{3}{4}MA$, điểm H nằm trong tia $\vec{BM}$ sao mang lại $\vec{MH}=\frac{5}{2}\vec{MB}$.

Ví dụ 2: Hình vuông ABCD với cạnh a

a, Chứng tỏ rằng $\vec{u}=a\vec{MA}-3\vec{MB}+\vec{MC}-2\vec{MD}$ ko tùy theo địa điểm của điểm M.

b, Tính $\left | \vec{u} \right |$.

Lời giải:  

a, Giả sử O là tâm hình vuông vắn ABCD. sít dụng quy tắc 3 điểm tớ có: 

$\vec{u}=4\vec{MO}+\vec{OA}-3\vec{MO}+\vec{OB}+\vec{MO}+\vec{OC}-2\vec{MO}+\vec{OD}=4\vec{OA}-3\vec{OB}+\vec{OC}-2\vec{OD}$

Mà: $\vec{OD}=-\vec{OB}, \vec{OC}=-\vec{OA}$ nên $\vec{u}=3\vec{OA}-\vec{OB}$

=> Vecto $\vec{u}$ ko dựa vào địa điểm của điểm M.

Xem thêm: Những người sinh năm Tân Mùi 1991 mệnh gì? Hợp màu gì?

 

b, Lấy A' bên trên $\vec{OA}$ sao mang lại OA'=3OA

Khi đó: $\vec{OA'}=3\vec{OA}\Rightarrow \vec{u}=\vec{OA'}-\vec{OB}=\vec{BA'}$

Mặt khác:

$\vec{BA'}=\sqrt{OB^{2}+(OA')^{2}}=\sqrt{OB^{2}+9OA^{2}}=a\sqrt{5}\Rightarrow \vec{u}=a\sqrt{5}$

2.2. Tìm một điểm thỏa mãn nhu cầu một đẳng thức vectơ mang lại trước

Phương pháp giải: 

• Biến thay đổi đẳng thức vectơ trở nên dạng $\vec{AN}=\vec{a}$, điểm A và $\vec{a}$ đang được biết. Khi bại tồn bên trên có một không hai một điểm N sao mang lại $\vec{AN}=\vec{a}$. Để dựng điểm N, tớ lấy điểm A thực hiện gốc, dựng một vectơ vì chưng vectơ $\vec{a}$, kể từ bại suy đi ra được điểm ngọn là vấn đề N.

• Biến thay đổi về đẳng thức vectơ đang được biết của trọng tâm tam giác và trung điểm đoạn trực tiếp.

Ví du 1: Cho tứ giác ABCD. Tìm những điểm M,N,P. sao cho:

a, $2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$
b, $\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}+\vec{ND}=\vec{0}$
c, $3\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=\vec{0}$

Lời giải:

a, Giả sử điểm I là trung điểm đoạn BC

=> $\vec{MB}+\vec{MC}=2\vec{MI}$

Do đó: $2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$

$2\vec{MA}+2\vec{MI}=\vec{0}\Leftrightarrow \vec{MA}+\vec{MI}=\vec{0}$

=> Điểm M là trung điểm đoạn trực tiếp AI

b, Giả sử K,H là trung điểm của AB, CD tớ có:

$\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}+\vec{ND}=\vec{0}\Leftrightarrow 2\vec{NK}+2\vec{NH}=\vec{0}$

=> Điểm N là trung điểm đoạn trực tiếp KH

c, Giả sử G là trọng tâm của tam giác BCD tớ có:

$\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=3\vec{PG}$

=> $3\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=\vec{0}$

Điểm P.. là trung điểm đoạn trực tiếp AG.

Ví dụ 2: A, B là nhị điểm mang lại trước, nhị số thực $\alpha ,\beta $ thỏa mãn nhu cầu $\alpha+\beta\neq 0$. Chứng tỏ rằng: tồn bên trên có một không hai một điểm I sao mang lại $\alpha\vec{IA}+\beta \vec{IB}=\vec{0}$. Từ bại suy đi ra được $\alpha\vec{MA}+\beta \vec{MB}=(\alpha +\beta )\vec{MI}$ (M là vấn đề bất kì).

Lời giải: 

2.3. Chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp giải: sít dụng những loài kiến thức: đặc thù vectơ, quy tắc tía điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc quy tắc trừ, đặc thù trung điểm, đặc thù trọng tâm tam giác nhằm thay đổi.

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Hai điểm I,J là trung điểm của AB, CD. Điểm O là trung điểm của IJ. Chứng minh:

1. $\vec{BD}+\vec{AC}=2\vec{IJ}$

2. $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}=\vec{0}$

3. Với điểm M bất kì: $\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}=4\vec{MO}$

Lời giải: 

Ví dụ 2: Tam giác ABC với AB=c, CA=b, BC=a, G là trọng tâm. Giả sử D,E,F thứu tự là hình chiếu của trọng tâm G lên những cạnh AB, AC,BC. Chứng minh:

$a^{2}\vec{GD}+b^{2}\vec{GE}+c^{2}\vec{GF}=\vec{0}$

Lời giải: 

Xem thêm: 1993 mệnh gì? Màu sắc, con số, hướng tốt cho người sinh năm Quý Dậu | Mytour

Hy vọng nội dung bài viết bên trên trên đây đã hỗ trợ những em cầm được kỹ năng và kiến thức về tích của vectơ với một trong những. Cạnh cạnh việc học tập lý thuyết những em cần thiết rèn luyện tăng những dạng bài xích tập luyện hoặc gặp gỡ để sở hữu được bài xích đánh giá môn Toán đạt thành quả cao. Dường như những em hãy truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa huấn luyện ngay lập tức kể từ ngày hôm nay nhằm học hành đảm bảo chất lượng rộng lớn nhé!