[Vted.vn] - Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ áp dụng trong các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

Bài ghi chép này Vted đo đếm cho mình gọi Các bất đẳng thức cơ phiên bản như BĐT AM - GM (Côsi), BĐT Cauchy - Schwarz (Bunhiacopsky), BĐT chứa chấp căn thức, BĐT Mincopsky (Véctơ) lưu ý vận dụng trong số việc độ quý hiếm lớn số 1 và độ quý hiếm nhỏ nhất:

  1. Bất đẳng thức đạt được kể từ hằng đẳng thức dạng ${{(a-b)}^{2}}\ge 0$

  • ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab;ab\le {{\left( \frac{a+b}{2} \right)}^{2}};{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{1}{2}{{(a+b)}^{2}}.$ Dấu vì thế xẩy ra Khi và chỉ Khi $a=b.$
  • ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge ab+bc+ca.$ Dấu vì thế xẩy ra Khi và chỉ Khi $a=b=c.$
  • ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \frac{1}{3}{{(a+b+c)}^{2}}.$ Dấu vì thế xẩy ra Khi và chỉ Khi $a=b=c.$
  • ${{(a+b+c)}^{2}}\ge 3(ab+bc+ca).$ Dấu vì thế xẩy ra Khi và chỉ Khi $a=b=c.$
  1. Bất đẳng thức với nhị căn thức cơ bản

  • $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge \sqrt{a+b}.$ Dấu vì thế xẩy ra Khi và chỉ Khi $a=0$ hoặc $b=0.$
  • $\sqrt{a}+\sqrt{b}\le \sqrt{2(a+b)}.$ Dấu vì thế xẩy ra Khi và chỉ Khi $a=b.$

Ví dụ 1:Cho nhị số thực $x,y$ thoả mãn $x+y=2\left( \sqrt{x-3}+\sqrt{y+3} \right).$ Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức $P=4({{x}^{2}}+{{y}^{2}})+15xy.$

A. $\min P=-80.$

B. $\min P=-91.$

C. $\min P=-83.$

D. $\min P=-63.$

Giải.Ta đem $x+y=2\left( \sqrt{x-3}+\sqrt{y+3} \right)\ge 2\sqrt{(x-3)+(y+3)}=2\sqrt{x+y}.$ Suy đi ra $x+y=0$ hoặc $x+y\ge 4.$  

Bạn đang xem: [Vted.vn] - Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ áp dụng trong các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

Và $x+y=2\left( \sqrt{x-3}+\sqrt{y+3} \right)\le 2\sqrt{\left( 1+1 \right)\left( x-3+y+3 \right)}=2\sqrt{2(x+y)}\Rightarrow x+y\le 8.$

  • Nếu $x+y=0\Leftrightarrow x=3;y=-3\Rightarrow P=-63.$
  • Nếu $x+y\in [4;8],$ xuất phát điểm từ ĐK xác lập căn thức tớ có: \[(x-3)(y+3)\ge 0\Rightarrow xy\ge 3(y-x)+9.\]

Suy ra 

    \[\begin{array}{c} P.. = 4{x^2} + 4{y^2} + 15xy = 4{(x + y)^2} + 7xy \ge 4{(x + y)^2} + 7\left[ {3(y - x) + 9} \right]\\ = \left[ {4{{(x + y)}^2} - 21(x + y)} \right] + \left( {42y + 63} \right)\\ \ge \left( {{{4.4}^2} - 21.4} \right) + \left( {42.( - 3) + 63} \right) = - 83. \end{array}\]

Dấu vì thế đạt bên trên $x=7,y=-3.$ Đối chiếu nhị tình huống tớ Chọn đáp án C. 

*Chú ý: Hàm số $y=4{{t}^{2}}-21t$ đồng biến hóa bên trên đoạn $[4;8]$ nên tớ đem Reviews $4{{(x+y)}^{2}}-21(x+y)\ge {{4.4}^{2}}-21.4.$

  1. Bất đẳng thức AM – GM (Sách giáo khoa việt phái mạnh gọi là bất đẳng thức Côsi)

  • Với nhị số thực ko âm tớ đem $a+b\ge 2\sqrt{ab}.$ Dấu vì thế xẩy ra Khi và chỉ Khi $a=b.$
  • Với tía số thực ko âm tớ đem $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}.$ Dấu vì thế xẩy ra Khi và chỉ Khi $a=b=c.$
  • Với $n$ thực ko âm tớ đem ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}\ge n\sqrt[n]{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}.$ Dấu vì thế xẩy ra Khi và chỉ Khi ${{a}_{1}}={{a}_{2}}=...={{a}_{n}}.$

Ví dụ 1:Cho $a>0;b>0$ thoả mãn ${{\log }_{2a+2b+1}}(4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1)+{{\log }_{4ab+1}}(2a+2b+1)=2.$ Giá trị biểu thức $a+2b$ bằng

A. $\frac{3}{2}.$

B. $5.$

C. $4.$

D. $\frac{15}{4}.$

Giải. Chú ý ${{\log }_{a}}b=\dfrac{\ln b}{\ln a}.$ Vậy $\dfrac{\ln \left( 4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1 \right)}{\ln \left( 2a+2b+1 \right)}+\dfrac{\ln \left( 2a+2b+1 \right)}{\ln \left( 4ab+1 \right)}=2.$

Sử dụng AM – GM có

$\dfrac{\ln \left( 4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1 \right)}{\ln \left( 2a+2b+1 \right)}+\dfrac{\ln \left( 2a+2b+1 \right)}{\ln \left( 4ab+1 \right)}\ge 2\sqrt{\dfrac{\ln (4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1)}{\ln (4ab+1)}}.$

Mặt không giống $4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2\sqrt{4{{a}^{2}}.{{b}^{2}}}=4ab\Rightarrow 4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1\ge 4ab+1\Rightarrow \dfrac{\ln (4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1)}{\ln \left( 4ab+1 \right)}\ge 1.$

Do cơ vệt vì thế nên xẩy ra tức \[\left\{ \begin{array}{l} 2a = b\\ \frac{{\ln \left( {2a + 2b + 1} \right)}}{{\ln \left( {4ab + 1} \right)}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \ln (6a + 1) = \ln (8{a^2} + 1)\\ b = 2a \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{3}{4}\\ b = \frac{3}{2} \end{array} \right..\]

Do cơ $a+2b=\frac{3}{4}+3=\frac{15}{4}.$ Chọn đáp án D.   

Ví dụ 2:Cho những số thực dương $x,y,z.$ sành độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{{{x}^{2}}}{y}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4z}+\dfrac{{{z}^{2}}}{x}+\dfrac{175\sqrt{{{x}^{2}}+9}}{4(x+1)}$ là $\dfrac{a}{b}$ với $a,b$ là những số vẹn toàn dương và $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $S=a+b.$

A. $S=52.$

B. $S=207.$

C. $S=103.$

D. $S=205.$

Giải.Ta Reviews tía số hạng đầu nhằm rơi rụng biến hóa hắn và z bằng phương pháp dùng bất đẳng thức AM – GM tớ có

$\dfrac{{{z}^{2}}}{x}+\dfrac{{{y}^{2}}}{8z}+\dfrac{{{y}^{2}}}{8z}+\dfrac{{{x}^{2}}}{4y}+\dfrac{{{x}^{2}}}{4y}+\dfrac{{{x}^{2}}}{4y}+\dfrac{{{x}^{2}}}{4y}\ge 7\sqrt[7]{\dfrac{{{z}^{2}}}{x}{{\left( \dfrac{{{y}^{2}}}{8z} \right)}^{2}}{{\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{4y} \right)}^{4}}}=\dfrac{7x}{4}.$

Vậy $P\ge f(x)=\dfrac{7x}{4}+\dfrac{175\sqrt{{{x}^{2}}+9}}{4(x+1)}\ge \underset{(0;+\infty )}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(4)=\dfrac{203}{4}.$ Chọn đáp án B.

Dấu vì thế đạt bên trên $\left\{ \begin{align}&\dfrac{{{z}^{2}}}{x}=\dfrac{{{y}^{2}}}{8z}=\dfrac{{{x}^{2}}}{4y}, \\ & x=4 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow (x;y;z)=(4;4;2).$

Ví dụ 3.Cho những số thực $a,b,c$ to hơn $1$ thoả mãn ${{\log }_{a}}bc+{{\log }_{b}}ca+4{{\log }_{c}}ab=10.$ Tính độ quý hiếm biểu thức $P={{\log }_{a}}b+{{\log }_{b}}c+{{\log }_{c}}a.$

A. $P=5.$

B. $P=\frac{7}{2}.$

C. $P=\frac{21}{4}.$

D. $P=\frac{9}{2}.$

Giải. Chú ý biến hóa logarit ${{\log }_{a}}xy={{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}y(x>0,y>0),0<a\ne 1.$

Vậy đẳng thức fake thiết tương tự với:

                                                                \[\begin{array}{l} {\log _a}b + {\log _a}c + {\log _b}c + {\log _b}a + 4\left( {{{\log }_c}a + {{\log }_c}b} \right) = 10\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right) + \left( {{{\log }_b}c + 4{{\log }_c}b} \right) + \left( {4{{\log }_c}a + {{\log }_a}c} \right) = 10. \end{array}\]

Do $a,b,c$ to hơn $1$ nên ${{\log }_{a}}b>0;{{\log }_{b}}c>0;{{\log }_{c}}a>0$ và nhằm ý đặc thù ${{\log }_{x}}y.{{\log }_{y}}x=1\left( 0<x,y\ne 1 \right)$  

Sử dụng bất đẳng thức AM – GM tớ có:

                                                                    \[\begin{array}{l} {\log _a}b + {\log _b}a \ge 2\sqrt {{{\log }_a}b.{{\log }_b}a} = 2\\ {\log _b}c + 4{\log _c}b \ge 2\sqrt {{{\log }_b}c.4{{\log }_c}b} = 4\\ 4{\log _c}a + {\log _a}c \ge 2\sqrt {4{{\log }_c}a.{{\log }_a}c} = 4 \end{array}\]

Cộng lại theo đòi vế tớ có:  \[\left( {{\log }_{a}}b+{{\log }_{b}}a \right)+\left( {{\log }_{b}}c+4{{\log }_{c}}b \right)+\left( 4{{\log }_{c}}a+{{\log }_{a}}c \right)\ge 10.\]

Điều cơ chứng minh nên xẩy ra vệt vì thế  trong những bất đẳng thức AM – GM

Dấu vì thế đạt bên trên \[\left\{ \begin{array}{l} {\log _a}b = {\log _b}a = 1\\ {\log _b}c = 4{\log _c}b = 2\\ 4{\log _c}a = {\log _a}c = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\log _a}b = 1\\ {\log _b}c = 2\\ {\log _c}a = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = b\\ c = {b^2}\\ a = \sqrt c \end{array} \right. \Leftrightarrow a = b,c = {b^2}.\] Chọn đáp án B.

Ví dụ 4.Có toàn bộ từng nào cỗ tía số thực $(x;y;z)$ thoả mãn đôi khi những ĐK bên dưới đây

\[{{2}^{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}}{{.4}^{\sqrt[3]{{{y}^{2}}}}}{{.16}^{\sqrt[3]{{{z}^{2}}}}}=128\] và ${{\left( x{{y}^{2}}+{{z}^{4}} \right)}^{2}}=4+{{\left( x{{y}^{2}}-{{z}^{4}} \right)}^{2}}.$

A. $8.$

B. $4.$

C. $3.$

D. $2.$

Giải. Ta đem \[{{2}^{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}}{{.4}^{\sqrt[3]{{{y}^{2}}}}}{{.16}^{\sqrt[3]{{{z}^{2}}}}}=128\Leftrightarrow {{2}^{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2\sqrt[3]{{{y}^{2}}}+4\sqrt[3]{{{z}^{2}}}}}={{2}^{7}}\Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2\sqrt[3]{{{y}^{2}}}+4\sqrt[3]{{{z}^{2}}}=7.\]

Khai thác ĐK số 2, tớ có

\[{{x}^{2}}{{y}^{4}}+2x{{y}^{2}}{{z}^{4}}+{{z}^{8}}=4+{{x}^{2}}{{y}^{4}}-2x{{y}^{2}}{{z}^{4}}+{{z}^{8}}\Leftrightarrow x{{y}^{2}}{{z}^{4}}=1.\]

Mặt không giống theo đòi bất đẳng thức AM – GM cho tới 7 số thực dương tớ có

\[\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2\sqrt[3]{{{y}^{2}}}+4\sqrt[3]{{{z}^{2}}}\ge 7\sqrt[7]{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}{{\left( \sqrt[3]{{{y}^{2}}} \right)}^{2}}{{\left( \sqrt[3]{{{z}^{2}}} \right)}^{4}}}=7\sqrt[7]{\sqrt[3]{{{x}^{2}}{{y}^{4}}{{z}^{8}}}}=7\sqrt[7]{\sqrt[3]{{{\left( x{{y}^{2}}{{z}^{4}} \right)}^{2}}}}=7.\]

Do cơ vệt vì thế nên xẩy ra tức \[\left\{ \begin{array}{l} \sqrt[3]{{{x^2}}} = \sqrt[3]{{{y^2}}} = \sqrt[3]{{{z^2}}} = 1\\ x{y^2}{z^4} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1;y,z \in \left\{ { - 1;1} \right\}.\]

Mỗi số $y,z$ đem 2 cơ hội vậy đem toàn bộ ${{1.2}^{2}}=4$ cỗ số thực thoả mãn. Chọn đáp án B.

  1. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Sách giáo khoa việt phái mạnh gọi là bất đẳng thức Bunhiacopsky)

  • Ta luôn luôn đem $({{a}^{2}}+{{b}^{2}})({{x}^{2}}+{{y}^{2}})\ge {{(ax+by)}^{2}}.$ Dấu vì thế xẩy ra Khi và chỉ Khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}.$

Ta hoặc sử dụng: $-\sqrt{({{a}^{2}}+{{b}^{2}})({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}\le ax+by\le \sqrt{({{a}^{2}}+{{b}^{2}})({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}.$

Dấu vì thế ở bên phải đạt bên trên $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=k>0;$ vệt vì thế phía bên trái đạt bên trên $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=k<0.$

  • Ta luôn luôn đem $({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})\ge {{(ax+by+cz)}^{2}}.$ Dấu vì thế xẩy ra Khi và chỉ Khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}.$
  •  Ta luôn luôn đem $(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2})\ge {{({{a}_{1}}{{x}_{1}}+{{a}_{2}}{{x}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{x}_{n}})}^{2}}.$ Dấu vì thế xẩy ra Khi và chỉ Khi $\frac{{{a}_{1}}}{{{x}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{x}_{2}}}=...=\frac{{{a}_{n}}}{{{x}_{n}}}.$

Ví dụ 1:Cho nhị số thực $x,y$ thoả mãn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 2x+3y.$ Giá trị lớn số 1 của biểu thức $2x+y$ bằng

A. $\frac{19+\sqrt{19}}{2}.$

B. $\frac{7+\sqrt{65}}{2}.$

C. $\frac{11+10\sqrt{2}}{3}.$

D. $\frac{7-\sqrt{10}}{2}.$

Giải. Ta đem biến hóa fake thiết: ${{x}^{2}}-2x+{{y}^{2}}-3y\le 0\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}+{{\left( y-\frac{3}{2} \right)}^{2}}\le \frac{13}{4}.$

Xem thêm: Dự đoán vận hạn tuổi Bính Dần theo 12 tháng năm 2023

Khi cơ $2x+y=2(x-1)+\left( y-\frac{3}{2} \right)+\frac{7}{2}\le \sqrt{\left( {{2}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{(x-1)}^{2}}+{{\left( y-\frac{3}{2} \right)}^{2}} \right)}+\frac{7}{2}\le \sqrt{5.\frac{13}{4}}+\frac{7}{2}=\frac{7+\sqrt{65}}{2}.$

Dấu vì thế đạt bên trên \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - \frac{3}{2}}}{1} = k&gt;0\\ 2x + hắn = \frac{{7 + \sqrt {65} }}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{5 + \sqrt {65} }}{5};y = \frac{{15 + \sqrt {65} }}{{10}}.\) Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Cho những số thực $x,y,z$ thoả mãn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y-12\le 0.$ Giá trị lớn số 1 của biểu thức $2x+3y-2z$ bằng

A. $17.$

B. $25.$

C. $21.$

D. $24.$

Giải. Biến thay đổi fake thiết đem ${{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{z}^{2}}\le 17.$

Khi đó

\(\begin{array}{c} 2x + 3y - 2z = \left( {2(x - 2) + 3(y + 1) - 2z} \right) + 4\\ \le \sqrt {\left( {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \right)\left( {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {z^2}} \right)} + 4 \le \sqrt {17.17} + 4 = 21. \end{array}\)

Dấu vì thế đạt bên trên \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{z}{{ - 2}}\\ 2x + 3y - 2z = 21 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{74}}{{17}},hắn = \frac{{43}}{{17}},z = - \frac{{40}}{{17}}.\) Chọn đáp án C.

Ví dụ 3. Cho nhị số thực $x,y$ thay cho thay đổi thoả mãn $x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2}.$ Gọi $a,b$ theo lần lượt là độ quý hiếm lớn số 1 và độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức $S={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}.$ Tính $P=a+b.$

A. $P=44.$

B. $P=41.$

C. $P=43.$

D. $P=42.$

Giải. Ta đem $x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2(y+1)}\le \sqrt{3(x+y)}\Rightarrow t=x+y\in [0;3].$

Khi đó

$\begin{align}& S={{(x+y)}^{2}}+2(x+y)+8\sqrt{4-x-y}+2 \\& =f(t)={{t}^{2}}+2t+8\sqrt{4-t}+2\in [18;25],\forall t\in [0;3]\Rightarrow P=18+25=43. \end{align}$

Chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Số phức $z$ thoả mãn $\left| z+1-2i \right|=2\sqrt{2},$ độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức $a\left| z-1 \right|+b\left| z+3-4i \right|,\left( a,b>0 \right)$ bằng

Giải. Đặt $z=x+yi\Rightarrow \left| z+1-2i \right|=2\sqrt{2}\Leftrightarrow {{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=8.$

Khi cơ dùng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz có

$\begin{gathered} P.. = a\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {y^2}} + b\sqrt {{{(x + 3)}^2} + {{(y - 4)}^2}} \leqslant \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2} + {{\left( {x + 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2}} \right)} \\ = \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 4x - 8y + 26} \right)} = \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + 8} \right)} \\ = \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {8 + 8} \right)} = 4\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} . \\ \end{gathered} $

Chọn đáp án B.

  1. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức

Với những số thực dương ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}$ tớ luôn luôn đem $\dfrac{a_{1}^{2}}{{{x}_{1}}}+\dfrac{a_{2}^{2}}{{{x}_{2}}}+...+\dfrac{a_{n}^{2}}{{{x}_{n}}}\ge \frac{{{({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}})}^{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{n}}}.$ Dấu vì thế đạt bên trên $\dfrac{{{a}_{1}}}{{{x}_{1}}}=\dfrac{{{a}_{2}}}{{{x}_{2}}}=...=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{x}_{n}}}.$

Ví dụ 1: Cho hàm số $y={{(x+m)}^{3}}+{{(x+n)}^{3}}+{{(x+p)}^{3}}-{{x}^{3}},$ đem đồ vật thị $(C).$ Tiếp tuyến của $(C)$ bên trên điểm đem hoành chừng $x=1$ đem thông số góc nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ${{m}^{2}}+2{{n}^{2}}+3{{p}^{2}}$ bằng

A. $\frac{12}{11}.$

B. $\frac{96}{11}.$

C. $\frac{48}{11}.$

D. $\frac{24}{11}.$

Giải. Hệ số góc của tiếp tuyến là

 $k={y}'=3{{(x+m)}^{2}}+3{{(x+n)}^{2}}+3{{(x+p)}^{2}}-3{{x}^{2}}=6{{x}^{2}}+6(m+n+p)x+3{{m}^{2}}+3{{n}^{2}}+3{{p}^{2}}$ đạt độ quý hiếm nhỏ nhất bên trên $x=-\frac{6(m+n+p)}{2.6}=-\frac{m+n+p}{2}.$ Theo fake thiết có  $-\frac{m+n+p}{2}=1\Leftrightarrow m+n+p=-2.$

Khi cơ theo đòi bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức tớ có:

${{m}^{2}}+2{{n}^{2}}+3{{p}^{2}}=\dfrac{{{m}^{2}}}{1}+\dfrac{{{n}^{2}}}{\frac{1}{2}}+\dfrac{{{p}^{2}}}{\dfrac{1}{3}}\ge \dfrac{{{(m+n+p)}^{2}}}{1+\dfrac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\dfrac{4}{1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{24}{11}.$

Dấu vì thế đạt bên trên \(\left\{ \begin{array}{l} m + n + p = - 2\\ \dfrac{m}{1} = \dfrac{n}{{\frac{1}{2}}} = \dfrac{p}{{\dfrac{1}{3}}} \end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \dfrac{{12}}{{11}},n = - \dfrac{6}{{11}},p = - \dfrac{4}{{11}}.\) Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Cho những số thực $x,y,z$ thoả mãn $xy+yz+zx=1.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $3{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+5{{z}^{2}}$ gần nhất với thành phẩm nào là sau đây ?

A. $1,33.$

C. $3,89.$

B. $1,94.$

D. $2,67.$

Giải. Ta tấn công giá: $3{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+5{{z}^{2}}\ge 2k(xy+yz+zx)\Leftrightarrow (k+3){{x}^{2}}+(k+4){{y}^{2}}+(k+5){{z}^{2}}\ge k{{(x+y+z)}^{2}}.$

Trong cơ $k$ là một trong hằng số dương được lựa chọn sau, Khi cơ độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức  $3{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+5{{z}^{2}}$ vì thế $2k.$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức tớ có:

$(k+3){{x}^{2}}+(k+4){{y}^{2}}+(k+5){{z}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{\frac{1}{k+3}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{\frac{1}{k+4}}+\dfrac{{{z}^{2}}}{\frac{1}{k+5}}\ge \dfrac{{{(x+y+z)}^{2}}}{\dfrac{1}{k+3}+\dfrac{1}{k+4}+\dfrac{1}{k+5}}.$

Vậy hằng số $k$ cần thiết lần là nghiệm dương của phương trình $\dfrac{1}{\dfrac{1}{k+3}+\dfrac{1}{k+4}+\dfrac{1}{k+5}}=k\Leftrightarrow {{k}^{3}}+6{{k}^{2}}-30=0\Rightarrow k\approx 1,9434.$ Do vậy lựa chọn đáp án C.

  1. Bất đẳng thức Mincopski (bất đẳng thức véctơ)

  • $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}\ge \sqrt{{{(a+m)}^{2}}+{{(b+n)}^{2}}}.$ Dấu vì thế xẩy ra Khi và chỉ Khi $\frac{a}{m}=\frac{b}{n}=k>0.$

Ví dụ 1:Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\left| y-2 \right|$ bằng

A. $\sqrt{5}.$

B. $2.$

C. $2+\sqrt{3}.$

D. $\frac{4+\sqrt{3}}{2}.$

Giải.Sử dụng bất đẳng thức Mincopsky tớ có

\(\begin{array}{c} \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{( - x - 1)}^2} + {y^2}} \\ \ge \sqrt {{{(x - 1 - x - 1)}^2} + {{(y + y)}^2}} = \sqrt {4{y^2} + 4} = 2\sqrt {{y^2} + 1} . \end{array}\)

Do đó  $\sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\left| y-2 \right|\ge f(y)=2\sqrt{{{y}^{2}}+1}+\left| y-2 \right|\ge \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,f(y)=f\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)=2+\sqrt{3}.$

Dấu vì thế đạt bên trên \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 1}}{{ - x - 1}} = \frac{y}{y}\\ hắn = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0;y = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\) Chọn đáp án C.

Xem thêm: 4 vị trí nốt ruồi giàu sang trên bàn chân

Bạn gọi cần thiết phiên bản PDF của nội dung bài viết này hãy nhằm lại Bình luận nhập phần Bình luận ngay lập tức bên dưới Bài ghi chép này Vted tiếp tục gửi cho những bạn

>>Xem tăng Cập nhật Đề đua test chất lượng nghiệp trung học phổ thông 2023 môn Toán đem câu nói. giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện đua trung học phổ thông Quốc Gia 2023 Môn Toán dành riêng cho teen 2K5

>>Xem thêm Tổng phù hợp những công thức tính thời gian nhanh số phức rất rất hoặc dùng- Trích bài xích giảng khoá học tập PRO X bên trên Vted.vn

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải thời gian nhanh Hình phẳng lì toạ chừng Oxy

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải thời gian nhanh hình toạ chừng Oxyz

>>Xem tăng kỹ năng và kiến thức về Cấp số nằm trong và cấp cho số nhân

>>Xem thêm Các bất đẳng thức cơ phiên bản lưu ý vận dụng trong số việc độ quý hiếm lớn số 1 và độ quý hiếm nhỏ nhất

>>Tải về Tổng phù hợp những công thức lượng giác cần thiết nhớ

>>Sách Khám Phá Tư Duy Kỹ Thuật Giải Bất Đẳng Thức Bài Toán Min- Max

XEM TRỰC TUYẾN

>>Tải về Bài ghi chép Các bất đẳng thức cơ phiên bản lưu ý vận dụng trong số việc độ quý hiếm lớn số 1 và độ quý hiếm nhỏ nhất