Giải toán 7 Bài 8. Tình chất ba đường trung trực của một tam giác

§8. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRựC CỦA TAM GIÁC
A. Tóm tắt loài kiến thức
Định lí 1. Trong một tam giác cân nặng, đàng trung trực của cạnh lòng đôi khi là đàng trung tuyến ứng với cạnh này (h.3.82).
Định lí 2. Ba đàng trung trực của một tam giác nằm trong trải qua một điểm. Điểm này cơ hội đều phụ thân đỉnh của tam giác cơ.
Diểm o là tâm đàng tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác ABC. A	A
Hình 3.82	Hình 3.83
Trên hình 3.83, điểm 0 là phó điểm những đàng trung trực của tam giác ABC. Ta đem OA = OB - oc.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BA lấy điểm M bên trên cạnh CA lấy điểm N sao cho tới BM + công nhân = BC. Chứng minh rằng đàng trung trực của MN luôn luôn trải qua một điểm thắt chặt và cố định.
Giải.
A
Hình 3.84
(h.3.84) Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho tới BM = BD Khi cơ công nhân = CD.
Gọi I là phó điểm hai tuyến đường phân giác của B và C suy rời khỏi I là vấn đề thắt chặt và cố định.
Tam giác BMD cân nặng bên trên B nên BI là đàng trung trực của đoạn MD.
Tam giác CND cân nặng bên trên c nên CI là đàng trung trực của đoạn ND.
Tam giác MND đem đàng trung trực của những cạnh MD và ND tách nhau bên trên I
Suy rời khỏi I nằm trong đàng trung trực cạnh MN.
Do cơ đàng trung trực của đoạn MN luôn luôn trải qua điểm I thắt chặt và cố định.
Nhận xét
Bài toán vẫn áp dụng đặc điểm của tam giác cân nặng : Trong tam giác cân nặng, đàng phân giác khởi nguồn từ đỉnh đôi khi là đàng trung trực của cạnh lòng.
Về cách thức giải : Muốn minh chứng đường thẳng liền mạch trải qua một điểm thắt chặt và cố định, tao cần thiết xác lập điểm thắt chặt và cố định, điểm này đó là phó điểm của hai tuyến đường thắt chặt và cố định.
c. Hưóng dẫn giải bài bác tạp vô sách giáo khoa
Bài 52. Giải, (h.3.85) Xét tam giác ABC đem đàng trung tuyến AM cũng chính là đàng trung trực của BC. Các hình chiếu MB, MC cân nhau nên những đàng xiên AB, AC cân nhau. Vậy tam giác ABC cân nặng bên trên A.
Bài 53. Giai. Gọi A, B, c là địa điểm của phụ thân ngôi nhà. Điểm cơ hội đều cả A, B và c là phó điếm những đàng trung trực cua tam giác ABC (điểm o bên trên hình 3.86).
Bài 54. Giải. quý khách hàng gọi tự động vẽ hình.
Đường tròn trặn trải qua phụ thân đỉnh của tam giác gọi là đàng tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác cơ. Để vẽ đàng tròn trặn nước ngoài tiếp tao cần thiết xác lập tâm của đàng tròn trặn cơ. Muốn xác lập tâm, tao vẽ hai tuyến đường trung trực và phó điểm của hai tuyến đường trung trực (cũng gọi là phó điểm của phụ thân trung trực) là tâm của đàng tròn trặn cần thiết mò mẫm.
c/ỉíí ý
Trong tình huống A < 90° tâm đàng tròn trặn nước ngoài tiếp trực thuộc tam giác.
Trong trương thích hợp A > 90° tâm đàng tròn trặn nước ngoài tiếp ở ngoài tam giác.
• Trong tình huống A = 90° tâm đàng tròn trặn nước ngoài tiếp đó là trung điểm của cạnh huyền.
Suy rời khỏi ADB + ADC = 2(Dj + D2) = 2IDK (1).
Ta lại sở hữu IA // DK (cùng vuông góc với AC), nhưng mà I =90° nên IDK = 90° (2).
Từ (1) và (2) suy rời khỏi ADB + ADC = 180°.
Vậy phụ thân điếm B, D, c trực tiếp sản phẩm.
s
Bài 56. Giải. Theo bài bác 55, D là phó điểm những đàng trung trực của AB, AC nên D cơ hội đều phụ thân đỉnh cúa tam giác ABC. Theo thành phẩm của bài bác 55, phụ thân điểm B, D, c thắng sản phẩm nên suy rời khỏi D là trưng điểm của cạnh huyền. Từ cơ suy rời khỏi AD là đàng trung tuyến của tam giác ABC và AD = ^-BC. Ta đem kết luận: Trong một tam giác vuông, đàng trung tuyến khởi nguồn từ đinh góc vuông vị một nứa cạnh huyền.
Bài 57. Giải. Gọi A, B, c là phụ thân điqm bên trên đàng viền của cụ thể máy. Kẻ những đàng trung trực cúa AB và BC, bọn chúng cát nhau bên trên o. Điểm o cơ hội đều phụ thân điếm A, B, c nên là tàm của đàng tròn trặn viền cụ thể máy. Khoảng cơ hội kể từ o tới điểm bất kì bên trên đàng tròn trặn là nửa đường kính cần thiết xác lập.
D. Bài luyện tập thêm
Cho tam giác ABC (A > 90° ). Các đàng trung trực của cạnh AB, AC tách nhau bên trên o và tách BC theo đuổi trật tự bên trên M, N. Chứng minh tia AO là tia phân giác của góc MAN.
Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A. Đường phân giác góc A tách đàng trung trực của cạnh AB bên trên o. Trên cạnh AB và AC lấy điểm M và N sao cho tới AM = công nhân. Chứng minh o phía trên đàng trung trực của đoạn MN.
Cho tam giác ABC vuông bên trên A. Gọi o là phó điểm hai tuyến đường phân giác của góc B và góc c. Trên cạnh BC lấy điểm D và E sao cho tới BD = BA; CE = CA.
Tính số đo DAE.
Chứng minh rằng o là phó điểm của phụ thân đàng trung trực của tam giác AĐE.
Lòi giải - Hướng dẫn - Đáp sô
(h.3.88)
M và o nằm trong đàng trung trực của cạnh AB
o
I*	Hình 3.88
=> AOMA • = A OMB (c.c.c)
=> Aj = Bj (1).
o và N nằm trong đàng trung trực của cạnh AC => A OAN = A OCN (c.c.c) => Aọ = C| (2).
Tam giác ABC đem o là phó điểm của hai tuyến đường trung trực => o nằm trong đàng trung trực của cạnh BC => OB = oc.
=> tam giác OBC cân nặng bên trên o => Bj = Cj (3).
Từ (1), (2) và (3), tao đem A[ = hồ hoặc AO là tia phân giác của MAN .
(h.3.89) Tam giác ABC cân nặng bên trên A đem AD là đàng phân giác, minh chứng được AD là đàng trung trực của cạnh BC.
Suy rời khỏi o là phó điếm những đàng trung trực của tam giác ABC =>0A = oc => tam giác AOC càn bên trên o => A-) =C[ .
Mà Aị = Aọ => Aị = C| .
Xét nhì tam giác AMO và CNO đem AM = công nhân ; Aj = Cj; AO - teo.
Suy rời khỏi AAMO = ACNO (c.«.c)=>OM = ON.
=>o nằm trong đàng trung trực của đoạn trực tiếp MN.
Nhận xét. Bài toán rất có thể miêu tả như sau: Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A. Trên cạnh AB và AC lấy điểm M và N thay cho thay đổi sao cho tới AM = công nhân. Chứng minh rằng đàng trung trực của đoạn MN luôn luôn trải qua điểm thắt chặt và cố định.
(h.3.90)
a) Tam giác ABD cân nặng bên trên B - AĨ)B AS0 '-A[iC
Tam giác ACE cân nặng bên trên c
x>ẤẼẽ=-—°-ÃẽẼ.
2
, 7TA 180o-ABC + 180°-ACB Do cơ ADB + AEC =	—	
2
_ 180° + 180° - ABC - Ngân Hàng Á Châu ACB _ 180°+BAC _ J 35„
2 - 2 - ' ■
Tam giác AED đem ỂÂb + ẤẼC + ẤÕÈ = 180° => ỂÃb = 45° .
b) Tam giác ABD cân nặng bên trên B; BO là đàng phân giác, dễ dàng minh chứng được BO là đàng trung trực của đoạn trực tiếp AD (1).
Tam giác ACE cân nặng bên trên C; teo là đàng phân giác, dễ dàng minh chứng được CO là đàng trung trực của đoạn trực tiếp AE (2).
Từ (1) và (2) suy rời khỏi o là phó điểm phụ thân đàng trung trực của tam giác ADE.